Номер 6.64, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.64* Даны положительные и не равные единице числа $a, b, c, x, y, z$. Известно, что числа $\log_x a, \log_y b, \log_z c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Докажите, что выполняется равенство

$\log_y (\log_x a + \log_z c) = 2 \log_x a \cdot \log_z c$

По условию задачи числа $log_x a$, $log_y b$ и $log_z c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, удвоенный средний член равен сумме крайних членов. Следовательно, для данных чисел выполняется равенство:

$2 \cdot log_y b = log_x a + log_z c$

Для дальнейших преобразований воспользуемся свойством логарифма, которое позволяет менять местами основание и аргумент: $log_k m = \frac{1}{log_m k}$. Поскольку по условию все числа $a, b, c, x, y, z$ положительны и не равны единице, все основания и аргументы рассматриваемых логарифмов также положительны и не равны единице, поэтому данное преобразование является корректным.

Применим эту формулу к каждому члену в равенстве для арифметической прогрессии, подставив $log_y b = \frac{1}{log_b y}$, $log_x a = \frac{1}{log_a x}$ и $log_z c = \frac{1}{log_c z}$:

$2 \cdot \frac{1}{log_b y} = \frac{1}{log_a x} + \frac{1}{log_c z}$

Упростим полученное выражение. Сначала приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{2}{log_b y} = \frac{log_c z + log_a x}{log_a x \cdot log_c z}$

Теперь, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$2 \cdot log_a x \cdot log_c z = log_b y \cdot (log_a x + log_c z)$

Поменяв местами левую и правую части, мы получаем тождество, которое требовалось доказать:

$log_b y(log_a x + log_c z) = 2log_a x \cdot log_c z$

Ответ: Равенство $log_b y(log_a x + log_c z) = 2log_a x \cdot log_c z$ доказано.