Номер 6.58, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.58. Известно, что $lg5 = a$, $lg7 = b$. Найдите $lg122,5$.

Для решения задачи необходимо выразить $lg122,5$ через $lg5$ и $lg7$. Десятичный логарифм $lg$ имеет основание 10.

1. Преобразуем число под знаком логарифма. Представим десятичную дробь 122,5 в виде обыкновенной дроби:

$122,5 = \frac{1225}{10}$

2. Применим свойство логарифма частного $lg\left(\frac{x}{y}\right) = lg(x) - lg(y)$:

$lg122,5 = lg\left(\frac{1225}{10}\right) = lg1225 - lg10$

3. Десятичный логарифм числа 10 равен 1, так как $10^1 = 10$. Поэтому $lg10 = 1$.

$lg122,5 = lg1225 - 1$

4. Теперь разложим число 1225 на множители. Число 1225 оканчивается на 25, значит оно делится на 25 ($5^2$).

$1225 = 25 \cdot 49$

Число 49 является квадратом 7 ($7^2$).

$1225 = 5^2 \cdot 7^2$

5. Подставим это разложение обратно в логарифм:

$lg1225 = lg(5^2 \cdot 7^2)$

6. Используем свойства логарифма произведения $lg(x \cdot y) = lg(x) + lg(y)$ и логарифма степени $lg(x^n) = n \cdot lg(x)$:

$lg(5^2 \cdot 7^2) = lg(5^2) + lg(7^2) = 2 \cdot lg5 + 2 \cdot lg7$

7. По условию задачи $lg5 = a$ и $lg7 = b$. Заменим $lg5$ и $lg7$ на их значения:

$2 \cdot lg5 + 2 \cdot lg7 = 2a + 2b$

8. Наконец, объединим все полученные результаты:

$lg122,5 = lg1225 - 1 = (2a + 2b) - 1 = 2a + 2b - 1$

Ответ: $2a + 2b - 1$