Номер 6.62, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.62. Докажите справедливость равенства $\log_3 12 = \log_3 7 \cdot \log_7 5 \times \log_5 4 + 1$.

6.62. Для доказательства справедливости равенства $log_3 12 = log_3 7 \cdot log_7 5 \cdot log_5 4 + 1$ преобразуем его правую часть.

Сначала упростим произведение логарифмов: $log_3 7 \cdot log_7 5 \cdot log_5 4$.

Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию, которая в данном случае удобна в виде $log_a b \cdot log_b c = log_a c$. Применим это свойство последовательно.

Умножим первые два логарифма:

$log_3 7 \cdot log_7 5 = log_3 5$

Теперь умножим полученный результат на третий логарифм:

$(log_3 7 \cdot log_7 5) \cdot log_5 4 = log_3 5 \cdot log_5 4 = log_3 4$

Таким образом, произведение логарифмов $log_3 7 \cdot log_7 5 \cdot log_5 4$ равно $log_3 4$.

Подставим это значение обратно в правую часть исходного равенства:

$log_3 4 + 1$

Далее, представим число 1 в виде логарифма с основанием 3, используя основное логарифмическое свойство $log_a a = 1$:

$1 = log_3 3$

Теперь правая часть принимает вид:

$log_3 4 + log_3 3$

Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $log_a x + log_a y = log_a (x \cdot y)$, получаем:

$log_3 4 + log_3 3 = log_3 (4 \cdot 3) = log_3 12$

В результате преобразований мы получили, что правая часть равенства равна $log_3 12$, что в точности совпадает с левой частью. Следовательно, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.