Номер 6.69, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.69. Сколько решений имеет уравнение:

1) $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 0;$

2) $x^2 + 6x + y^2 - 10y + 34 = 0? धन$

1) Дано уравнение $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 0$.

Выражения $(x - 3)^2$ и $(y + 1)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x - 3)^2 \geq 0$ и $(y + 1)^2 \geq 0$ для любых $\text{x}$ и $\text{y}$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 1)^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы получаем $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Из второго уравнения системы получаем $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

Следовательно, существует только одна пара чисел $(x, y)$, которая является решением данного уравнения: $(3, -1)$. Таким образом, уравнение имеет одно решение.

Ответ: 1.

2) Дано уравнение $x^2 + 6x + y^2 - 10y + 34 = 0$.

Для решения преобразуем это уравнение, выделив полные квадраты для переменных $\text{x}$ и $\text{y}$. Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 10y) + 34 = 0$.

Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 + 6x$ добавим и вычтем $3^2=9$:

$x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (x + 3)^2 - 9$.

Для выделения полного квадрата из выражения $y^2 - 10y$ добавим и вычтем $5^2=25$:

$y^2 - 10y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (y - 5)^2 - 25$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((x + 3)^2 - 9) + ((y - 5)^2 - 25) + 34 = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 - 9 - 25 + 34 = 0$.

$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 - 34 + 34 = 0$.

$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 0$.

Мы получили уравнение, аналогичное уравнению из первого пункта. Сумма двух квадратов равна нулю, только если каждый из них равен нулю.

$ \begin{cases} (x + 3)^2 = 0 \\ (y - 5)^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $x + 3 = 0$, откуда $x = -3$.

Из второго уравнения получаем $y - 5 = 0$, откуда $y = 5$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(-3, 5)$.

Ответ: 1.