Номер 6.75, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.75. Совпадают ли графики функций $f(x) = x + 1$ и $g(x) = 2^{\log_2 (x+1)}$? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы графики двух функций совпадали, необходимо, чтобы сами функции были тождественно равны. Две функции считаются тождественно равными, если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны.

1. Анализ функции $f(x) = x + 1$. Это линейная функция. Ее область определения — множество всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Графиком является прямая линия.

2. Анализ функции $g(x) = 2^{\log_2(x+1)}$. Эта функция определена только в том случае, если выражение под знаком логарифма строго положительно. $x + 1 > 0$$x > -1$ Следовательно, область определения функции $g(x)$: $D(g) = (-1; +\infty)$.

На своей области определения $x > -1$ функцию $g(x)$ можно упростить, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $g(x) = 2^{\log_2(x+1)} = x + 1$.

3. Сравнение функций. Области определения функций не совпадают: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а $D(g) = (-1; +\infty)$. Поскольку $D(f) \neq D(g)$, функции $f(x)$ и $g(x)$ не являются тождественно равными.

График функции $f(x)$ представляет собой прямую $y=x+1$, определенную на всей числовой оси. График функции $g(x)$ является частью этой прямой — лучом, который начинается в точке $(-1, 0)$ (сама точка не включается) и продолжается вправо и вверх.

Так как графики существуют на разных множествах значений $\text{x}$, они не совпадают.

Ответ: Нет, графики функций не совпадают. Причина в том, что у них разные области определения: для функции $f(x)$ это все действительные числа, а для функции $g(x)$ — только числа, большие -1 ($x \in (-1; +\infty)$).