Номер 6.81, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.81. Выясните, является ли функция возрастающей (убывающей), и найдите область определения функции:

1) $y = \ln(x + 5)$;

2) $y = \ln(3 - x)$.

1) Для функции $y = \ln(x + 5)$ найдем область определения. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x + 5 > 0$

$x > -5$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-5; +\infty)$.

Теперь определим, является ли функция возрастающей или убывающей. Для этого найдем её производную.

$y' = (\ln(x + 5))' = \frac{1}{x + 5} \cdot (x + 5)' = \frac{1}{x + 5}$.

На всей области определения, то есть при $x > -5$, знаменатель $x + 5$ является положительным числом. Следовательно, значение производной $y' = \frac{1}{x + 5}$ также всегда положительно ($y' > 0$) на всей области определения.

Если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Значит, функция $y = \ln(x + 5)$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: область определения $D(y) = (-5; +\infty)$, функция возрастающая.

2) Для функции $y = \ln(3 - x)$ найдем область определения. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$3 - x > 0$

$3 > x$ или $x < 3$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 3)$.

Далее определим характер монотонности функции. Найдем её производную.

$y' = (\ln(3 - x))' = \frac{1}{3 - x} \cdot (3 - x)' = \frac{1}{3 - x} \cdot (-1) = -\frac{1}{3 - x}$.

На всей области определения, то есть при $x < 3$, знаменатель $3 - x$ является положительным числом. Так как в числителе стоит $-1$, значение производной $y' = -\frac{1}{3 - x}$ всегда отрицательно ($y' < 0$) на всей области определения.

Если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале убывает. Значит, функция $y = \ln(3 - x)$ является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; 3)$, функция убывающая.