Номер 6.82, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.82. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_3(x^2 - 6x + 8);$

2) $y = \log_{\frac{1}{2}}(4 - x - 3x^2);$

3) $y = \log_x \frac{2x-1}{x^2-4};$

4) $y = \log_{\sqrt{7}} \frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 - 5x + 3}.$

1) Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. В данном случае основание логарифма $a=3$ является константой, удовлетворяющей условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Для функции $y = \log_3(x^2 - 6x + 8)$ необходимо решить неравенство:

$x^2 - 6x + 8 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Следовательно, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значит, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

2) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(4 - x - 3x^2)$ основание $a=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положителен:

$4 - x - 3x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства:

$3x^2 + x - 4 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + x - 4 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Парабола $y = 3x^2 + x - 4$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения в интервале между корнями.

Решение неравенства $3x^2 + x - 4 < 0$ это интервал $x \in (-\frac{4}{3}, 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}, 1)$.

3) В функции $y = \log_x \frac{2x-1}{x^2-4}$ и основание, и аргумент логарифма содержат переменную. Область определения находится из системы условий:

1. Аргумент больше нуля: $\frac{2x-1}{x^2-4} > 0$

2. Основание больше нуля: $x > 0$

3. Основание не равно единице: $x \neq 1$

Решим первое неравенство $\frac{2x-1}{(x-2)(x+2)} > 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = \frac{1}{2}$, $x = 2$, $x = -2$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы.

Проверяя знаки выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-2, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Теперь учтем остальные условия. Нам нужно найти пересечение множества $(-2, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$ с условиями $x > 0$ и $x \neq 1$.

Пересечение с $x > 0$: $(-2, \frac{1}{2}) \cap (0, \infty) = (0, \frac{1}{2})$ и $(2, \infty) \cap (0, \infty) = (2, \infty)$. Получаем $(0, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Условие $x \neq 1$ уже выполняется для этого множества, так как $\text{1}$ не принадлежит ни интервалу $(0, \frac{1}{2})$, ни интервалу $(2, \infty)$.

Следовательно, область определения функции: $x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

4) Для функции $y = \log_{\sqrt{7}} \frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 - 5x + 3}$ основание $a=\sqrt{7}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения находится из условия положительности аргумента:

$\frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 - 5x + 3} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2 - 3x + 2 = 0$ корни $x=1$ и $x=2$, поэтому $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Для знаменателя $2x^2 - 5x + 3 = 0$ корни $x=1$ и $x=\frac{3}{2}$, поэтому $2x^2 - 5x + 3 = 2(x-1)(x-\frac{3}{2}) = (x-1)(2x-3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(2x-3)} > 0$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 1$ и $x \neq \frac{3}{2}$. При $x \neq 1$ можно сократить дробь на $(x-1)$:

$\frac{x-2}{2x-3} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=2$ и $x=\frac{3}{2}$. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}, 2)$ и $(2, \infty)$.

Проверяя знаки, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (2, \infty)$.

Необходимо учесть исходное ограничение $x \neq 1$. Так как $1 \in (-\infty, \frac{3}{2})$, мы должны исключить эту точку из решения.

Итоговая область определения: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \frac{3}{2}) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \frac{3}{2}) \cup (2, \infty)$.