Номер 6.83, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.83. Сравните числа:

1) $lg \sqrt[6]{10}$ и $log_2 \sqrt{2}$;

2) $log_4 5$ и $log_6 5$;

3) $log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{6}$ и $log_9 7$;

4) $log_2 2$ и $log_2 3$;

5) $log_4 2$ и $log_{0.09} 0.3$;

6) $log_{\pi} \pi$ и $log_{\pi} 3$.

1) Сравним числа $\lg\sqrt[6]{10}$ и $\log_2 \sqrt{2}$.

Упростим каждое из выражений, используя определение и свойства логарифма.

Первое число: $\lg\sqrt[6]{10}$. Десятичный логарифм (lg) имеет основание 10. Представим корень в виде степени: $\sqrt[6]{10} = 10^{1/6}$.

$\lg\sqrt[6]{10} = \log_{10}(10^{1/6})$.

По свойству логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:

$\log_{10}(10^{1/6}) = \frac{1}{6}$.

Второе число: $\log_2 \sqrt{2}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

$\log_2 \sqrt{2} = \log_2(2^{1/2})$.

Используя то же свойство, получаем:

$\log_2(2^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Теперь необходимо сравнить дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{2}$. Поскольку $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $1 < 3$, то $\frac{1}{6} < \frac{3}{6}$.

Следовательно, $\lg\sqrt[6]{10} < \log_2 \sqrt{2}$.

Ответ: $\lg\sqrt[6]{10} < \log_2 \sqrt{2}$.

2) Сравним числа $\log_4 5$ и $\log_6 5$.

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_x 5$ при $x > 1$. Аргумент логарифма 5 больше 1.

Функцию можно представить в виде $y = \frac{\ln 5}{\ln x}$ с помощью формулы перехода к новому основанию.

Поскольку $x > 1$, $\ln x > 0$. Числитель $\ln 5$ также положителен. При увеличении $\text{x}$, знаменатель $\ln x$ возрастает. Следовательно, вся дробь (значение функции $\text{y}$) уменьшается.

Таким образом, функция $y = \log_x 5$ является убывающей на интервале $(1, +\infty)$.

Сравним основания логарифмов: $4 < 6$.

Так как функция убывающая, большему значению аргумента $\text{x}$ соответствует меньшее значение функции $\text{y}$. Поэтому из $4 < 6$ следует, что $\log_4 5 > \log_6 5$.

Ответ: $\log_4 5 > \log_6 5$.

3) Сравним числа $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{6}$ и $\log_9 7$.

Приведем оба логарифма к одному основанию, например, к 3.

Первое число: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{6}$. Используем свойства $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ и $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.

$\log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{6} = \log_{3^{1/2}} 6^{1/4} = \frac{1/4}{1/2}\log_3 6 = \frac{1}{4} \cdot 2 \log_3 6 = \frac{1}{2}\log_3 6$.

Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем: $\frac{1}{2}\log_3 6 = \log_3 6^{1/2} = \log_3 \sqrt{6}$.

Второе число: $\log_9 7$.

$\log_9 7 = \log_{3^2} 7 = \frac{1}{2}\log_3 7 = \log_3 7^{1/2} = \log_3 \sqrt{7}$.

Теперь сравним $\log_3 \sqrt{6}$ и $\log_3 \sqrt{7}$.

Логарифмическая функция $y=\log_3 x$ является возрастающей, так как ее основание $3 > 1$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы: так как $6 < 7$, то $\sqrt{6} < \sqrt{7}$.

Следовательно, $\log_3 \sqrt{6} < \log_3 \sqrt{7}$.

Ответ: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{6} < \log_9 7$.

4) Сравним числа $\log_3 2$ и $\log_2 3$.

Сравним каждое из чисел с 1.

Для первого числа $\log_3 2$: основание логарифма $3 > 1$, а аргумент $2 < 3$. Поэтому $\log_3 2 < \log_3 3 = 1$.

Для второго числа $\log_2 3$: основание логарифма $2 > 1$, а аргумент $3 > 2$. Поэтому $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$.

Итак, мы получили, что $\log_3 2 < 1$ и $\log_2 3 > 1$.

Следовательно, $\log_3 2 < \log_2 3$.

Ответ: $\log_3 2 < \log_2 3$.

5) Сравним числа $\log_4 2$ и $\log_{0.09} 0.3$.

Вычислим значение каждого выражения.

Первое число: $\log_4 2$. Пусть $\log_4 2 = x$. По определению логарифма, $4^x = 2$. Так как $4 = 2^2$, получаем $(2^2)^x = 2$, или $2^{2x} = 2^1$. Отсюда $2x=1$, и $x=\frac{1}{2}$.

Значит, $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.

Второе число: $\log_{0.09} 0.3$. Пусть $\log_{0.09} 0.3 = y$. По определению логарифма, $(0.09)^y = 0.3$. Так как $0.09 = (0.3)^2$, получаем $((0.3)^2)^y = 0.3$, или $(0.3)^{2y} = (0.3)^1$. Отсюда $2y=1$, и $y=\frac{1}{2}$.

Значит, $\log_{0.09} 0.3 = \frac{1}{2}$.

Оба числа равны $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\log_4 2 = \log_{0.09} 0.3$.

6) Сравним числа $\log_8 \pi$ и $\log_\pi 3$.

Сравним каждое из чисел с подходящим рациональным числом, например, с $\frac{2}{3}$.

Сравним $\log_8 \pi$ с $\frac{2}{3}$.

Функция $y=\log_8 x$ является возрастающей, так как основание $8 > 1$. Сравним аргумент $\pi$ со значением $8^{2/3}$.

$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Известно, что $\pi \approx 3.14$, поэтому $\pi < 4$.

Так как функция возрастающая и $\pi < 4$, то $\log_8 \pi < \log_8 4 = \log_8 (8^{2/3}) = \frac{2}{3}$.

Итак, $\log_8 \pi < \frac{2}{3}$.

Теперь сравним $\log_\pi 3$ с $\frac{2}{3}$.

Функция $y=\log_\pi x$ является возрастающей, так как основание $\pi \approx 3.14 > 1$. Сравним аргумент $\text{3}$ со значением $\pi^{2/3}$.

Для сравнения чисел $\text{3}$ и $\pi^{2/3}$ возведем оба в 3-ю степень (так как функция $f(t)=t^3$ возрастающая для положительных чисел):

Сравниваем $3^3$ и $(\pi^{2/3})^3$, то есть $27$ и $\pi^2$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\pi < 4$, и $\pi^2 < 16$. Очевидно, что $\pi^2 < 27$.

Из $\pi^2 < 27$ следует, что $\pi^{2/3} < 3$.

Так как функция $y=\log_\pi x$ возрастающая и $3 > \pi^{2/3}$, то $\log_\pi 3 > \log_\pi (\pi^{2/3}) = \frac{2}{3}$.

Итак, $\log_\pi 3 > \frac{2}{3}$.

Мы получили, что $\log_8 \pi < \frac{2}{3}$ и $\log_\pi 3 > \frac{2}{3}$.

Следовательно, $\log_8 \pi < \log_\pi 3$.

Ответ: $\log_8 \pi < \log_\pi 3$.