Номер 6.76, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.76. Сравните числа:

1) $\log_3 4$ и $\log_3 5$;

2) $\log_{\frac{1}{2}} 4$ и $\log_{\frac{1}{2}} 5$;

3) $\log_{\frac{3}{2}} \sqrt{65}$ и $\log_{\frac{3}{2}} 8$;

4) $\log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{7}$ и $\log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{14}$.

1) Сравнить $ \log_3 4 $ и $ \log_3 5 $.

Для сравнения логарифмов с одинаковым основанием используется свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_a x $. Характер монотонности (возрастание или убывание) зависит от значения основания $ a $.

В данном случае основание логарифмов $ a = 3 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_3 x $ является возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $ x_1 > x_2 > 0 $ выполняется неравенство $ \log_3 x_1 > \log_3 x_2 $.

Сравним аргументы логарифмов: $ 4 $ и $ 5 $.

Поскольку $ 5 > 4 $, для возрастающей функции $ \log_3 x $ получаем:

$ \log_3 5 > \log_3 4 $.

Ответ: $ \log_3 4 < \log_3 5 $.

2) Сравнить $ \log_{\frac{1}{2}} 4 $ и $ \log_{\frac{1}{2}} 5 $.

Основание логарифмов $ a = \frac{1}{2} $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ является убывающей. Это означает, что для любых $ x_1 > x_2 > 0 $ выполняется неравенство $ \log_{\frac{1}{2}} x_1 < \log_{\frac{1}{2}} x_2 $.

Сравним аргументы логарифмов: $ 4 $ и $ 5 $.

Поскольку $ 5 > 4 $, для убывающей функции $ \log_{\frac{1}{2}} x $ знак неравенства меняется на противоположный:

$ \log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 4 $.

Ответ: $ \log_{\frac{1}{2}} 4 > \log_{\frac{1}{2}} 5 $.

3) Сравнить $ \log_{\frac{3}{2}} \sqrt{65} $ и $ \log_{\frac{3}{2}} 8 $.

Основание логарифмов $ a = \frac{3}{2} = 1.5 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{3}{2}} x $ является возрастающей. Знак неравенства для логарифмов будет таким же, как и для их аргументов.

Сравним аргументы $ \sqrt{65} $ и $ 8 $. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$ (\sqrt{65})^2 = 65 $

$ 8^2 = 64 $

Так как $ 65 > 64 $, то $ \sqrt{65} > \sqrt{64} $, следовательно $ \sqrt{65} > 8 $.

Поскольку функция возрастающая, из $ \sqrt{65} > 8 $ следует:

$ \log_{\frac{3}{2}} \sqrt{65} > \log_{\frac{3}{2}} 8 $.

Ответ: $ \log_{\frac{3}{2}} \sqrt{65} > \log_{\frac{3}{2}} 8 $.

4) Сравнить $ \log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{7} $ и $ \log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{14} $.

Основание логарифмов $ a = \frac{2}{3} $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{2}{3}} x $ является убывающей. Знак неравенства для логарифмов будет противоположным знаку неравенства для их аргументов.

Сравним аргументы $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{9}{14} $. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 14:

$ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14} $

Теперь сравним $ \frac{8}{14} $ и $ \frac{9}{14} $. Очевидно, что $ \frac{8}{14} < \frac{9}{14} $, а значит $ \frac{4}{7} < \frac{9}{14} $.

Поскольку функция убывающая, из $ \frac{4}{7} < \frac{9}{14} $ следует, что знак неравенства для логарифмов меняется на противоположный:

$ \log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{7} > \log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{14} $.

Ответ: $ \log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{7} > \log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{14} $.