Номер 6.73, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.73. Определите знак выражения:

1) $\log_2 3;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} 3;$

3) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2};$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} 2;$

5) $y = \log_{\frac{\pi}{3}} 4;$

6) $\log_{\frac{\pi}{4}} 4;$

7) $\log_2 \pi;$

8) $\log_{\frac{1}{3}} \pi^{-1}.$

Для определения знака логарифма $ \log_a b $ используется следующее правило. Знак логарифма зависит от того, по какую сторону от единицы находятся основание $\text{a}$ и аргумент $\text{b}$.

- Если основание $\text{a}$ и аргумент $\text{b}$ находятся по одну сторону от 1 (то есть оба больше 1, или оба находятся в интервале от 0 до 1), то значение логарифма положительно.

- Если основание $\text{a}$ и аргумент $\text{b}$ находятся по разные стороны от 1 (то есть одно из них больше 1, а другое — в интервале от 0 до 1), то значение логарифма отрицательно.

1) В выражении $ \log_2 3 $ основание $ a = 2 > 1 $ и аргумент $ b = 3 > 1 $. Поскольку основание и аргумент находятся по одну сторону от 1 (оба больше 1), выражение положительное.

Ответ: положительный.

2) В выражении $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ основание $ a = \frac{1}{2} $, что меньше 1 ($0 < a < 1$), а аргумент $ b = 3 > 1 $. Поскольку основание и аргумент находятся по разные стороны от 1, выражение отрицательное.

Ответ: отрицательный.

3) В выражении $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} $ основание $ a = \frac{1}{3} $ ($0 < a < 1$) и аргумент $ b = \frac{1}{2} $ ($0 < b < 1$). Поскольку основание и аргумент находятся по одну сторону от 1 (оба меньше 1), выражение положительное.

Ответ: положительный.

4) В выражении $ y = \log_{\frac{1}{3}} 2 $ основание $ a = \frac{1}{3} < 1 $, а аргумент $ b = 2 > 1 $. Поскольку основание и аргумент находятся по разные стороны от 1, выражение отрицательное.

Ответ: отрицательный.

5) В выражении $ y = \log_{\frac{\pi}{3}} 4 $ основание $ a = \frac{\pi}{3} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} > 1 $. Аргумент $ b = 4 > 1 $. Поскольку основание и аргумент оба больше 1, выражение положительное.

Ответ: положительный.

6) В выражении $ \log_{\frac{\pi}{4}} 4 $ основание $ a = \frac{\pi}{4} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} < 1 $. Аргумент $ b = 4 > 1 $. Поскольку основание и аргумент находятся по разные стороны от 1, выражение отрицательное.

Ответ: отрицательный.

7) В выражении $ \log_2 \pi $ основание $ a = 2 > 1 $. Аргумент $ b = \pi \approx 3.14 > 1 $. Поскольку основание и аргумент оба больше 1, выражение положительное.

Ответ: положительный.

8) В выражении $ \log_{\frac{1}{3}} \pi^{-1} $ основание $ a = \frac{1}{3} < 1 $. Аргумент $ b = \pi^{-1} = \frac{1}{\pi} $. Так как $ \pi > 1 $, то $ 0 < \frac{1}{\pi} < 1 $. Поскольку основание и аргумент находятся по одну сторону от 1 (оба меньше 1), выражение положительное.

Ответ: положительный.