Номер 6.79, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.79. Определите, принадлежат ли данные точки графику функции $y = \text{lgx}$.

1) A(100; 2);

2) B(0,001; -3);

3) C($\sqrt[5]{100}$; $\frac{1}{5}$);

4) D($\sqrt[5]{10}$; $\frac{1}{5}$).

Чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство $y_0 = f(x_0)$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

В данной задаче мы имеем дело с функцией $y = \lg(x)$, где $\lg(x)$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg(x) = \log_{10}(x)$. Проверим каждую из заданных точек.

1) A(100; 2)

Подставим абсциссу $x=100$ и ординату $y=2$ в уравнение функции $y = \lg(x)$: $2 = \lg(100)$. Вычислим значение в правой части равенства. По определению десятичного логарифма, $\lg(100) = \log_{10}(100)$. Так как основание логарифма 10 в степени 2 дает 100 ($10^2 = 100$), то $\log_{10}(100) = 2$. В результате мы получили верное равенство $2 = 2$. Следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

2) B(0,001; -3)

Подставим координаты точки B, $x=0,001$ и $y=-3$, в уравнение функции: $-3 = \lg(0,001)$. Вычислим правую часть. $\lg(0,001) = \log_{10}(0,001)$. Представим число $0,001$ в виде степени с основанием 10: $0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$. Тогда, по определению логарифма, $\log_{10}(10^{-3}) = -3$. Мы получили верное равенство $-3 = -3$. Следовательно, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

3) C($\sqrt[5]{100}$; $\frac{1}{5}$)

Подставим координаты точки C, $x=\sqrt[5]{100}$ и $y=\frac{1}{5}$, в уравнение функции: $\frac{1}{5} = \lg(\sqrt[5]{100})$. Преобразуем и вычислим правую часть равенства, используя свойства степеней и логарифмов: $\lg(\sqrt[5]{100}) = \log_{10}(\sqrt[5]{10^2}) = \log_{10}(10^{\frac{2}{5}})$. Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^p) = p$, получаем, что $\log_{10}(10^{\frac{2}{5}}) = \frac{2}{5}$. В итоге мы пришли к равенству $\frac{1}{5} = \frac{2}{5}$, которое является неверным. Следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

4) D($\sqrt[5]{10}$; $\frac{1}{5}$)

Подставим координаты точки D, $x=\sqrt[5]{10}$ и $y=\frac{1}{5}$, в уравнение функции: $\frac{1}{5} = \lg(\sqrt[5]{10})$. Вычислим правую часть равенства: $\lg(\sqrt[5]{10}) = \log_{10}(10^{\frac{1}{5}})$. По свойству логарифма $\log_a(a^p) = p$, имеем $\log_{10}(10^{\frac{1}{5}}) = \frac{1}{5}$. В результате мы получили верное равенство $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.