Номер 6.86, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.86. Вычислите:

1) $\sqrt{\log_{\sqrt{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)}$

2) $\log_{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)$

1) $\sqrt[3]{\log_{\sqrt{2}}(2\sin\frac{\pi}{8}) + \log_{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{8})}$

Сначала упростим выражение под знаком кубического корня. Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$.

$\log_{\sqrt{2}}(2\sin\frac{\pi}{8}) + \log_{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{8}) = \log_{\sqrt{2}}(2\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8})$

Выражение в скобках под логарифмом $2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$ соответствует формуле синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

$2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь выражение под корнем принимает вид: $\log_{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Вычислим значение этого логарифма. Пусть $\log_{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = x$. По определению логарифма это означает, что $(\sqrt{2})^x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Представим обе части уравнения через степень 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2-1} = 2^{-1/2}$.

Получаем уравнение: $(2^{1/2})^x = 2^{-1/2}$, что равносильно $2^{x/2} = 2^{-1/2}$.

Приравнивая показатели степеней, находим: $\frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$, откуда $x = -1$.

Таким образом, всё выражение под корнем равно -1. Осталось извлечь кубический корень:

$\sqrt[3]{-1} = -1$

Ответ: $-1$

2) $3^{\log_{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}) + \log_{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8})}$

Упростим показатель степени, используя свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$.

$\log_{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}) + \log_{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}) = \log_{\sqrt{2}}((\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}))$

Выражение в скобках под логарифмом является произведением суммы и разности, что сворачивается по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}) = \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$

Полученное выражение $\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$ соответствует формуле косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, весь показатель степени равен $\log_{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Как было вычислено в предыдущем пункте, $\log_{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$.

Подставляем это значение в исходное выражение:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$