Номер 6.85, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.85. Известно, что $\lg 3 = p$, $\lg 2 = q$. Найдите $\lg 6$.

По условию задачи даны десятичные логарифмы: $lg3 = p$ и $lg2 = q$. Необходимо найти $log_5 6$.

Для нахождения $log_5 6$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма. В качестве нового основания удобно выбрать 10, так как даны значения именно десятичных логарифмов.

Формула перехода к новому основанию выглядит так:

$$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$$

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=5$, $b=6$, а в качестве основания $\text{c}$ выберем 10:

$$log_5 6 = \frac{log_{10} 6}{log_{10} 5} = \frac{lg 6}{lg 5}$$

Теперь необходимо выразить числитель ($lg 6$) и знаменатель ($lg 5$) через данные в условии величины $\text{p}$ и $\text{q}$.

1. Найдём выражение для числителя $lg 6$. Используя свойство логарифма произведения ($lg(x \cdot y) = lg x + lg y$), представим $lg 6$ в виде суммы логарифмов:

$$lg 6 = lg(2 \cdot 3) = lg 2 + lg 3$$

Подставляя известные из условия значения $lg2 = q$ и $lg3 = p$, получаем:

$$lg 6 = q + p = p + q$$

2. Найдём выражение для знаменателя $lg 5$. Значение $lg 5$ не дано напрямую. Однако мы можем выразить число 5 через числа 10 и 2, логарифмы которых нам известны. Представим 5 как $\frac{10}{2}$ и воспользуемся свойством логарифма частного ($lg(\frac{x}{y}) = lg x - lg y$):

$$lg 5 = lg\left(\frac{10}{2}\right) = lg 10 - lg 2$$

По определению десятичного логарифма, $lg 10 = 1$. Подставляя это значение и $lg 2 = q$ из условия, получаем:

$$lg 5 = 1 - q$$

3. Теперь, когда у нас есть выражения для числителя и знаменателя, мы можем подставить их обратно в формулу для $log_5 6$:

$$log_5 6 = \frac{lg 6}{lg 5} = \frac{p+q}{1-q}$$

Ответ: $\frac{p+q}{1-q}$.