Номер 6.80, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.80. Найдите область определения функции:

1) $y = \ln(x(x - 1)(x - 2));$

2) $y = \ln \frac{x^2(2x - 4)}{x + 6};$

3) $y = \frac{1}{\ln \sqrt{6 - x - x^2}}.$

1) Область определения функции $y = \ln(x(x-1)(x-2))$ находится из условия, что аргумент натурального логарифма должен быть строго больше нуля.

Решим неравенство:

$x(x-1)(x-2) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю:

$x(x-1)(x-2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак выражения $x(x-1)(x-2)$ на каждом из этих интервалов.

• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. $3(3-1)(3-2) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1, 2)$: возьмем $x=1.5$. $1.5(1.5-1)(1.5-2) = 1.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) = -0.375 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(0, 1)$: возьмем $x=0.5$. $0.5(0.5-1)(0.5-2) = 0.5 \cdot (-0.5) \cdot (-1.5) = 0.375 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, 0)$: возьмем $x=-1$. $(-1)(-1-1)(-1-2) = (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6 < 0$. Знак "-".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(0, 1)$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \ln \frac{x^2(2x-4)}{x+6}$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Решим неравенство:

$\frac{x^2(2x-4)}{x+6} > 0$

Преобразуем выражение: $\frac{2x^2(x-2)}{x+6} > 0$.

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $2x^2(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ (корень четной кратности) и $x=2$.

Нуль знаменателя: $x+6=0 \Rightarrow x=-6$.

Нанесем точки $-6$, $\text{0}$, $\text{2}$ на числовую ось. Точка $x=0$ является корнем четной кратности, поэтому при переходе через нее знак неравенства не меняется.

• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. $\frac{2 \cdot 3^2(3-2)}{3+6} = \frac{18}{9} = 2 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(0, 2)$: возьмем $x=1$. $\frac{2 \cdot 1^2(1-2)}{1+6} = \frac{-2}{7} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-6, 0)$: возьмем $x=-1$. $\frac{2 \cdot (-1)^2(-1-2)}{-1+6} = \frac{-6}{5} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty, -6)$: возьмем $x=-7$. $\frac{2 \cdot (-7)^2(-7-2)}{-7+6} = \frac{2 \cdot 49 \cdot (-9)}{-1} > 0$. Знак "+".

Неравенство выполняется на интервалах, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (2, +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{1}{\ln\sqrt{6-x-x^2}}$ область определения задается системой условий:

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $6-x-x^2 \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\sqrt{6-x-x^2} > 0$. Это условие более сильное, чем первое, и оно эквивалентно $6-x-x^2 > 0$.

3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\ln\sqrt{6-x-x^2} \neq 0$.

Объединим условия в систему:

$\begin{cases} 6-x-x^2 > 0 \\ \ln\sqrt{6-x-x^2} \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $6-x-x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2+x-6 < 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+x-6=0$. По теореме Виета корни $x_1=-3$ и $x_2=2$.

Так как ветви параболы $f(x)=x^2+x-6$ направлены вверх, неравенство $f(x) < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-3, 2)$.

Теперь решим второе условие: $\ln\sqrt{6-x-x^2} \neq 0$.

Это означает, что $\sqrt{6-x-x^2} \neq e^0 = 1$.

Возведем в квадрат: $6-x-x^2 \neq 1$, что равносильно $x^2+x-5 \neq 0$.

Найдем корни уравнения $x^2+x-5=0$ через дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(-5) = 21$.

Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Значит, $\text{x}$ не должен принимать эти два значения.

Оценим значения корней: $4 < \sqrt{21} < 5$.

$x_1 = \frac{-1-\sqrt{21}}{2}$. $ -3 \approx \frac{-1-5}{2} < \frac{-1-\sqrt{21}}{2} < \frac{-1-4}{2} = -2.5$. Эта точка лежит в интервале $(-3, 2)$.

$x_2 = \frac{-1+\sqrt{21}}{2}$. $1.5 = \frac{-1+4}{2} < \frac{-1+\sqrt{21}}{2} < \frac{-1+5}{2} = 2$. Эта точка также лежит в интервале $(-3, 2)$.

Итак, область определения - это интервал $(-3, 2)$, из которого исключены две точки: $\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$ и $\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x \in (-3, \frac{-1-\sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{-1-\sqrt{21}}{2}, \frac{-1+\sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{21}}{2}, 2)$.