Номер 6.72, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.72. Укажите, какие из следующих функций являются логарифмическими (устное задание):

1) $y = 4x$;

2) $y = \log_5 25 + x^2$;

3) $y = \ln(x + 2)$;

4) $y = 2.5^x$;

5) $y = \log_5 125 + x$.

Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a{x}$, где $\text{a}$ — основание логарифма ($a > 0, a \neq 1$), а $\text{x}$ — переменная. Также логарифмическими считаются функции, полученные из основной логарифмической функции с помощью преобразований (сдвигов, растяжений), например, $y = k \cdot \log_a(mx+b) + c$. Главный признак — переменная $\text{x}$ находится под знаком логарифма. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) Функция $y = 4x$ является линейной функцией. Зависимость $\text{y}$ от $\text{x}$ прямая пропорциональная. Эта функция не содержит логарифма.

Ответ: не является логарифмической.

2) В функции $y = \log_5{25} + x^2$ слагаемое $\log_5{25}$ является константой, так как его можно вычислить: $\log_5{25} = \log_5{5^2} = 2$. Следовательно, функцию можно переписать в виде $y = 2 + x^2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Переменная $\text{x}$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.

3) Функция $y = \ln(x + 2)$ является логарифмической. Это натуральный логарифм (логарифм по основанию $\text{e}$), аргумент которого зависит от переменной $\text{x}$. График этой функции получается из графика $y = \ln{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси абсцисс.

Ответ: является логарифмической.

4) Функция $y = 2.5^x$ является показательной (экспоненциальной) функцией, поскольку переменная $\text{x}$ находится в показателе степени. Логарифмические и показательные функции являются взаимно обратными, но это разные классы функций.

Ответ: не является логарифмической.

5) В функции $y = \log_5{125} + x$ слагаемое $\log_5{125}$ является константой. Его значение: $\log_5{125} = \log_5{5^3} = 3$. Таким образом, функция имеет вид $y = 3 + x$. Это линейная функция, график которой — прямая.

Ответ: не является логарифмической.