Номер 6.66, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.66. Докажите тождество:

1) $\log_{xy} z = \frac{\log_x z \cdot \log_y z}{\log_x z + \log_y z}$

2) $1 + \log_x y = \frac{\log_x z}{\log_{xy} z}$

1) Для доказательства тождества $ \log_{xy} z = \frac{\log_x z \cdot \log_y z}{\log_x z + \log_y z} $ преобразуем его правую часть. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию вида $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $ и приведем все логарифмы к основанию $\text{z}$.

Имеем: $ \log_x z = \frac{1}{\log_z x} $ и $ \log_y z = \frac{1}{\log_z y} $.

Подставим эти выражения в правую часть исходного тождества: $ \frac{\log_x z \cdot \log_y z}{\log_x z + \log_y z} = \frac{\frac{1}{\log_z x} \cdot \frac{1}{\log_z y}}{\frac{1}{\log_z x} + \frac{1}{\log_z y}} $.

Упростим полученную многоэтажную дробь. Сначала приведем к общему знаменателю выражение в знаменателе дроби: $ \frac{1}{\log_z x} + \frac{1}{\log_z y} = \frac{\log_z y + \log_z x}{\log_z x \cdot \log_z y} $.

Теперь все выражение принимает вид: $ \frac{\frac{1}{\log_z x \cdot \log_z y}}{\frac{\log_z x + \log_z y}{\log_z x \cdot \log_z y}} $.

Сократив $ \log_z x \cdot \log_z y $, получим: $ \frac{1}{\log_z x + \log_z y} $.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_c a + \log_c b = \log_c(ab) $ для знаменателя, получаем: $ \frac{1}{\log_z(xy)} $.

Наконец, снова применив формулу перехода к новому основанию $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $, получаем: $ \log_{xy} z $.

Таким образом, мы преобразовали правую часть тождества к левой.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ 1 + \log_x y = \frac{\log_x z}{\log_{xy} z} $ преобразуем обе его части к одному и тому же выражению.

Начнем с левой части. Представим единицу как логарифм с основанием $\text{x}$: $ 1 = \log_x x $. Тогда левая часть примет вид: $ 1 + \log_x y = \log_x x + \log_x y $.

По свойству суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $, получаем: $ \log_x(xy) $.

Теперь преобразуем правую часть: $ \frac{\log_x z}{\log_{xy} z} $. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $. Применим ее к знаменателю дроби, выбрав в качестве нового основания $\text{x}$: $ \log_{xy} z = \frac{\log_x z}{\log_x (xy)} $.

Подставим это выражение в правую часть исходного тождества: $ \frac{\log_x z}{\frac{\log_x z}{\log_x (xy)}} $.

Упростим полученную дробь. Это эквивалентно умножению числителя на перевернутый знаменатель: $ \log_x z \cdot \frac{\log_x (xy)}{\log_x z} $.

При условии, что $ z \neq 1 $ (чтобы $ \log_x z \neq 0 $), мы можем сократить $ \log_x z $, и в результате получим: $ \log_x (xy) $.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ \log_x(xy) $, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.