Номер 6.67, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.67. Найдите значение выражения $5x + 6y$, если $x = \frac{3}{\log_2 5}$, $y = (\log_5 6)^{-1}$.

Для того чтобы найти значение выражения $5x + 6y$, сначала необходимо упростить выражения для $\text{x}$ и $\text{y}$.

1. Упростим выражение для $\text{x}$. Дано, что $x = \frac{3}{\log_{2}5}$. Воспользуемся свойством логарифмов $\frac{1}{\log_{a}b} = \log_{b}a$.

$x = 3 \cdot \frac{1}{\log_{2}5} = 3 \cdot \log_{5}2$

2. Упростим выражение для $\text{y}$. Дано, что $y = (\log_{5}6)^{-1}$. Степень $-1$ означает обратное число.

$y = \frac{1}{\log_{5}6}$

Применяя то же свойство логарифмов, что и для $\text{x}$, получаем:

$y = \log_{6}5$

3. Теперь подставим упрощенные выражения для $\text{x}$ и $\text{y}$ в исходное выражение $5x + 6y$.

$5x + 6y = 5 \cdot (3 \log_{5}2) + 6 \cdot (\log_{6}5)$

Выполним умножение:

$5x + 6y = 15\log_{5}2 + 6\log_{6}5$

Используя свойство логарифма $c \cdot \log_{a}b = \log_{a}(b^c)$, можно переписать выражение в виде:

$5x + 6y = \log_{5}(2^{15}) + \log_{6}(5^6)$

Данное выражение не может быть далее упрощено до рационального числа, так как основания логарифмов различны и нет простого способа их объединить.

Ответ: $15\log_{5}2 + 6\log_{6}5$