Номер 6.65, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.65. Пусть $4a^2+9b^2 = 4ab(a > 0)$. Докажите, что выполняется равенство $\log_3 \frac{2a+3b}{4} = \frac{\log_3 a + \log_3 b}{2}$.

Начнем с преобразования данного в условии равенства $4a^2 + 9b^2 = 4ab$.

Наша цель — доказать логарифмическое тождество. Для этого мы будем преобразовывать исходное алгебраическое выражение. Заметим, что левая часть равенства $4a^2 + 9b^2$ является частью формулы квадрата суммы $(2a+3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

Чтобы получить в левой части полный квадрат, прибавим к обеим частям исходного равенства $4a^2 + 9b^2 = 4ab$ выражение $12ab$:

$4a^2 + 9b^2 + 12ab = 4ab + 12ab$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы и сложим слагаемые в правой части:

$(2a + 3b)^2 = 16ab$

Поскольку по условию $a > 0$, а для существования $\log_3 b$ необходимо, чтобы $b > 0$, то выражение $2a+3b$ строго положительно. Следовательно, мы можем извлечь арифметический квадратный корень из обеих частей равенства:

$\sqrt{(2a + 3b)^2} = \sqrt{16ab}$

$2a + 3b = 4\sqrt{ab}$

Теперь разделим обе части равенства на 4, чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма в доказываемом равенстве:

$\frac{2a + 3b}{4} = \sqrt{ab}$

Обе части полученного равенства положительны, поэтому мы можем взять от них логарифм по основанию 3:

$\log_3\left(\frac{2a + 3b}{4}\right) = \log_3(\sqrt{ab})$

Рассмотрим правую часть этого равенства и преобразуем ее, используя свойства логарифмов: $\log_c(x^p) = p \log_c(x)$ и $\log_c(xy) = \log_c(x) + \log_c(y)$.

$\log_3(\sqrt{ab}) = \log_3\left((ab)^{1/2}\right) = \frac{1}{2}\log_3(ab) = \frac{1}{2}(\log_3 a + \log_3 b) = \frac{\log_3 a + \log_3 b}{2}$

Подставив преобразованное выражение для правой части, мы получаем тождество, которое требовалось доказать:

$\log_3\left(\frac{2a + 3b}{4}\right) = \frac{\log_3 a + \log_3 b}{2}$

Таким образом, мы доказали, что из условия $4a^2 + 9b^2 = 4ab$ следует требуемое равенство.

Ответ: Равенство доказано.