Номер 6.57, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.57*. Докажите равенство $a^{\frac{\ln \ln a}{\ln a}} = \ln a$, ($a > 0$).

Для доказательства равенства $a^{\frac{\ln(\ln a)}{\ln a}} = \ln a$ при $a > 0$, преобразуем его левую часть.

Сначала определим область допустимых значений для выражения. Поскольку в выражении присутствует натуральный логарифм $\ln a$, должно выполняться условие $a > 0$. Также знаменатель $\ln a$ не должен быть равен нулю, что означает $a \neq 1$. Кроме того, выражение $\ln(\ln a)$ определено только в том случае, если аргумент логарифма положителен, то есть $\ln a > 0$, что эквивалентно $a > e^0$ или $a > 1$. Таким образом, равенство имеет смысл для всех $a > 1$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством, которое можно записать в виде $x = e^{\ln x}$. Применим его к основанию степени $\text{a}$: $a = e^{\ln a}$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства: $a^{\frac{\ln(\ln a)}{\ln a}} = (e^{\ln a})^{\frac{\ln(\ln a)}{\ln a}}$.

Теперь используем свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Это позволяет нам перемножить показатели степени: $(e^{\ln a})^{\frac{\ln(\ln a)}{\ln a}} = e^{(\ln a) \cdot \frac{\ln(\ln a)}{\ln a}}$.

В показателе степени можно сократить множитель $\ln a$ в числителе и знаменателе, так как для нашей области определения ($a > 1$) выполнено $\ln a \neq 0$: $(\ln a) \cdot \frac{\ln(\ln a)}{\ln a} = \ln(\ln a)$.

Таким образом, левая часть равенства упрощается до выражения: $e^{\ln(\ln a)}$.

По определению натурального логарифма, $e^{\ln x} = x$. В нашем случае в качестве $\text{x}$ выступает выражение $\ln a$. Следовательно: $e^{\ln(\ln a)} = \ln a$.

Мы преобразовали левую часть равенства и получили в точности его правую часть. Это доказывает, что исходное равенство верно для всех значений $\text{a}$, для которых оно определено.

Ответ: Равенство $a^{\frac{\ln(\ln a)}{\ln a}} = \ln a$ доказано.