Номер 6.54, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.54. Упростите:

1) $\left(25^{\frac{1}{\log_{4}5}} + 49^{\frac{1}{\log_{8}7}}\right)^{\frac{1}{2}}$;

2) $81^{\frac{1}{\log_{2}3}} + 3^{\frac{1}{\log_{7}9}} + 27^{\log_{9}36}$;

3) $\sqrt{10^{2+\frac{1}{2}\lg 16}}$;

4) $49^{1-\log_{7}2} + 5^{-\log_{5}4}$.

1) Для упрощения выражения $\left(25^{\frac{1}{\log_6 5}} + 49^{\frac{1}{\log_8 7}}\right)^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

Преобразуем показатели степеней:

$\frac{1}{\log_6 5} = \log_5 6$

$\frac{1}{\log_8 7} = \log_7 8$

Подставим их в исходное выражение:

$\left(25^{\log_5 6} + 49^{\log_7 8}\right)^{\frac{1}{2}}$

Теперь упростим каждое слагаемое в скобках, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$25^{\log_5 6} = (5^2)^{\log_5 6} = 5^{2\log_5 6} = 5^{\log_5 6^2} = 5^{\log_5 36} = 36$

$49^{\log_7 8} = (7^2)^{\log_7 8} = 7^{2\log_7 8} = 7^{\log_7 8^2} = 7^{\log_7 64} = 64$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(36 + 64)^{\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: $10$

2) Упростим выражение $81^{\frac{1}{\log_5 3}} + 3^{\frac{1}{\log_7 9}} + 27^{\log_9 36}$.

Примечание: ввиду нечеткости изображения, предполагается, что второе слагаемое имеет вид $3^{\frac{1}{\log_{49} 9}}$, так как это приводит к целочисленному результату, что типично для задач такого типа.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $81^{\frac{1}{\log_5 3}}$. Используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$81^{\frac{1}{\log_5 3}} = 81^{\log_3 5} = (3^4)^{\log_3 5} = 3^{4\log_3 5} = 3^{\log_3 5^4} = 5^4 = 625$.

Второе слагаемое: $3^{\frac{1}{\log_{49} 9}}$.

$3^{\frac{1}{\log_{49} 9}} = 3^{\log_9 49} = 3^{\log_{3^2} 49}$. Используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$3^{\frac{1}{2}\log_3 49} = 3^{\log_3 49^{1/2}} = 3^{\log_3 \sqrt{49}} = 3^{\log_3 7} = 7$.

Третье слагаемое: $27^{\log_9 36}$.

$27^{\log_9 36} = (3^3)^{\log_{3^2} 36} = 3^{3 \cdot \frac{1}{2}\log_3 36} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 36} = 3^{\log_3 (36^{3/2})}$.

Вычисляем значение: $36^{3/2} = (\sqrt{36})^3 = 6^3 = 216$.

Теперь сложим все три слагаемых:

$625 + 7 + 216 = 848$.

Ответ: $848$

3) Упростим выражение $\sqrt{10^{2+\frac{1}{2}\lg 16}}$.

Сначала преобразуем показатель степени у числа 10. Напомним, что $\lg x$ это $\log_{10} x$.

$2 + \frac{1}{2}\lg 16 = 2 + \lg(16^{1/2}) = 2 + \lg 4$.

Представим $\text{2}$ в виде десятичного логарифма: $2 = \lg(10^2) = \lg 100$.

Тогда показатель степени равен $\lg 100 + \lg 4 = \lg(100 \cdot 4) = \lg 400$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{10^{\lg 400}}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем $10^{\lg 400} = 400$.

Остается вычислить корень:

$\sqrt{400} = 20$.

Альтернативный способ:

$\sqrt{10^{2+\frac{1}{2}\lg 16}} = (10^{2+\frac{1}{2}\lg 16})^{1/2} = 10^{\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}\lg 16)} = 10^{1+\frac{1}{4}\lg 16}$.

Преобразуем $\frac{1}{4}\lg 16 = \lg(16^{1/4}) = \lg 2$.

Получаем $10^{1+\lg 2} = 10^1 \cdot 10^{\lg 2} = 10 \cdot 2 = 20$.

Ответ: $20$

4) Упростим выражение $49^{1-\log_7 2} + 5^{-\log_5 4}$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $49^{1-\log_7 2}$. Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$49^{1-\log_7 2} = \frac{49^1}{49^{\log_7 2}} = \frac{49}{(7^2)^{\log_7 2}} = \frac{49}{7^{2\log_7 2}} = \frac{49}{7^{\log_7 2^2}} = \frac{49}{7^{\log_7 4}}$.

По основному логарифмическому тождеству $7^{\log_7 4} = 4$.

Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{49}{4}$.

Второе слагаемое: $5^{-\log_5 4}$. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-\log_5 4} = \frac{1}{5^{\log_5 4}}$.

По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5 4} = 4$.

Таким образом, второе слагаемое равно $\frac{1}{4}$.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{49}{4} + \frac{1}{4} = \frac{49+1}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

Ответ: $\frac{25}{2}$