Номер 6.47, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.47*. Докажите, что для любого положительного числа $\text{a}$ ($a \neq 1$) выполняется равенство:

1) $\frac{1}{\log_a e} + \frac{1}{\log_{a^2} e} + \frac{1}{\log_{a^3} e} + \frac{1}{\log_{a^{10}} e} = 10 \ln a$;

2) $\log_{a e^n} e^n = \frac{\ln a + n}{1+n}$

1) В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Левая часть равенства в том виде, как она представлена на изображении, равна $15\ln a$, а не $10\ln a$.

Действительно, используя свойство логарифма $\frac{1}{\log_b c} = \log_c b$ и $\log_c(b^k) = k \log_c b$, получаем:

$\frac{1}{\log_{a}e} + \frac{1}{\log_{a^2}e} + \frac{1}{\log_{a^4}e} + \frac{1}{\log_{a^8}e} = \log_e a + \log_e a^2 + \log_e a^4 + \log_e a^8$

$= \ln a + 2\ln a + 4\ln a + 8\ln a = (1+2+4+8)\ln a = 15\ln a$.

Равенство $15\ln a = 10\ln a$ выполняется только при $\ln a = 0$, то есть $a=1$, что противоречит условию $a \ne 1$.

Вероятно, имелось в виду равенство, где показатели степени в основаниях логарифмов образуют арифметическую прогрессию: $a, a^2, a^3, a^4$. В этом случае сумма показателей равна $1+2+3+4=10$.

Докажем исправленное равенство:

$\frac{1}{\log_{a}e} + \frac{1}{\log_{a^2}e} + \frac{1}{\log_{a^3}e} + \frac{1}{\log_{a^4}e} = 10\ln a$

Преобразуем левую часть, используя свойство $\frac{1}{\log_b c} = \log_c b$ (в нашем случае $c=e$, поэтому $\log_e x = \ln x$):

$\log_e a + \log_e a^2 + \log_e a^3 + \log_e a^4$

Используем свойство логарифма степени $\ln(x^k) = k\ln x$:

$\ln a + 2\ln a + 3\ln a + 4\ln a$

Вынесем общий множитель $\ln a$ за скобки:

$(1+2+3+4)\ln a = 10\ln a$

Таким образом, левая часть равна правой: $10\ln a = 10\ln a$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано при условии исправления опечатки в условии (основания логарифмов должны быть $a, a^2, a^3, a^4$).

2) Основание логарифма в левой части равенства на изображении нечеткое и, вероятно, содержит опечатку. Чтобы доказать равенство для любого положительного $a \ne 1$, мы можем определить, каким должно быть основание логарифма.

Пусть основание логарифма равно $\text{B}$. Тогда равенство имеет вид:

$\log_B (ae^n) = \frac{\ln a + n}{1+n}$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифма в левой части (перейдем к натуральному логарифму):

$\log_B (ae^n) = \frac{\ln(ae^n)}{\ln B}$

Используя свойства логарифма $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ и $\ln(x^k) = k \ln x$, преобразуем числитель:

$\ln(ae^n) = \ln a + \ln(e^n) = \ln a + n$

Таким образом, левая часть равенства равна:

$\frac{\ln a + n}{\ln B}$

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$\frac{\ln a + n}{\ln B} = \frac{\ln a + n}{1+n}$

Чтобы это равенство выполнялось для любого $\text{a}$ (при условии, что $\ln a + n \ne 0$), знаменатели дробей должны быть равны:

$\ln B = 1+n$

Отсюда находим основание $\text{B}$:

$B = e^{1+n}$

Следовательно, в условии задачи, скорее всего, опечатка, и основание логарифма должно быть $e^{1+n}$. Докажем равенство для этого основания.

Левая часть: $\log_{e^{1+n}} (ae^n)$.

Перейдем к натуральному логарифму:

$\log_{e^{1+n}} (ae^n) = \frac{\ln(ae^n)}{\ln(e^{1+n})} = \frac{\ln a + \ln(e^n)}{1+n} = \frac{\ln a + n}{1+n}$

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано при условии, что основание логарифма в левой части равно $e^{1+n}$.