Номер 6.42, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

6.42. Вкладчик положил 10 000 тг на депозит под 12% годовых. Через сколько лет сумма его вклада удвоится?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов, поскольку проценты начисляются ежегодно на всю сумму вклада, включая ранее начисленные проценты.

Обозначим:

• $\text{P}$ — первоначальная сумма вклада (начальный капитал). В нашем случае $P = 10 000$ тг.
• $\text{r}$ — годовая процентная ставка в долях. В нашем случае $r = 12\% = 0.12$.
• $\text{n}$ — количество лет. Это искомая величина.
• $S_n$ — сумма вклада через $\text{n}$ лет.

Формула для расчета суммы вклада при сложных процентах выглядит так:

$S_n = P \cdot (1 + r)^n$

По условию задачи, мы хотим найти, через сколько лет сумма вклада удвоится. Это означает, что конечная сумма $S_n$ должна быть равна $2P$.

$S_n = 2P = 2 \cdot 10 000 = 20 000$ тг.

Подставим это условие в формулу:

$2P = P \cdot (1 + r)^n$

Можно сократить обе части уравнения на $\text{P}$ (так как $P \neq 0$):

$2 = (1 + r)^n$

Теперь подставим значение процентной ставки $r = 0.12$:

$2 = (1 + 0.12)^n$

$2 = 1.12^n$

Чтобы найти $\text{n}$, нам нужно решить это показательное уравнение. Для этого прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln(2) = \ln(1.12^n)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем:

$\ln(2) = n \cdot \ln(1.12)$

Выразим $\text{n}$:

$n = \frac{\ln(2)}{\ln(1.12)}$

Используя калькулятор, найдем приближенные значения логарифмов:

$\ln(2) \approx 0.6931$

$\ln(1.12) \approx 0.1133$

Теперь вычислим $\text{n}$:

$n \approx \frac{0.6931}{0.1133} \approx 6.117$ лет

Результат $n \approx 6.12$ лет показывает точное время, через которое сумма удвоится. Однако, поскольку проценты начисляются в конце каждого года, нам нужно найти целое количество лет, по истечении которых сумма на счете станет как минимум вдвое больше первоначальной.

Проверим сумму на счете через 6 и 7 лет:

• Через 6 лет: $S_6 = 10000 \cdot (1.12)^6 \approx 10000 \cdot 1.9738 = 19738$ тг. Эта сумма меньше 20 000 тг.
• Через 7 лет: $S_7 = 10000 \cdot (1.12)^7 \approx 10000 \cdot 2.2107 = 22107$ тг. Эта сумма больше 20 000 тг.

Таким образом, только по прошествии 7 полных лет сумма вклада превысит удвоенный размер. Удвоение произойдет в течение седьмого года.

Ответ: сумма вклада удвоится через 7 лет.