Номер 6.38, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.38. Вычислите:

1) $2^{\log_2 19};$

2) $3^{\log_{0.5} 5};$

3) $\log_5 5^{21};$

4) $5^{1+\log_5 8};$

5) $4^{\log_{0.25} 7};$

6) $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{27}.$

1) Для вычисления $2^{\log_{2}{19}}$ воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_{a}{b}} = b$. В данном случае $a=2$ и $b=19$. Следовательно, $2^{\log_{2}{19}} = 19$.

Ответ: 19.

2) Для вычисления $3^{\log_{9}{5}}$ приведем основание степени и основание логарифма к одному числу. Представим $\text{9}$ как $3^2$. Выражение принимает вид $3^{\log_{3^2}{5}}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}\log_{a}{b}$, получаем: $\log_{3^2}{5} = \frac{1}{2}\log_{3}{5}$. Теперь выражение выглядит так: $3^{\frac{1}{2}\log_{3}{5}}$. По свойству $k\log_{a}{b} = \log_{a}{b^k}$ внесем $\frac{1}{2}$ в степень аргумента логарифма: $3^{\log_{3}{5^{1/2}}} = 3^{\log_{3}{\sqrt{5}}}$. Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}{b}} = b$, получаем $\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

3) Для вычисления $\log_{5}{5^{21}}$ воспользуемся свойством логарифма $\log_{a}{b^k} = k\log_{a}{b}$. Выносим показатель степени $21$ за знак логарифма: $21 \cdot \log_{5}{5}$. Так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ($\log_{a}{a} = 1$), то $\log_{5}{5} = 1$. Таким образом, $21 \cdot 1 = 21$.

Ответ: 21.

4) Для вычисления $5^{1+\log_{5}{8}}$ используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Получаем: $5^{1+\log_{5}{8}} = 5^1 \cdot 5^{\log_{5}{8}}$. Выражение $5^{\log_{5}{8}}$ по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_{a}{b}} = b$ равно $\text{8}$. Следовательно, $5 \cdot 8 = 40$.

Ответ: 40.

5) Для вычисления $4^{\log_{0.25}{7}}$ приведем основание степени и основание логарифма к одному числу. Представим $0.25$ как $\frac{1}{4}$ или $4^{-1}$. Выражение принимает вид $4^{\log_{4^{-1}}{7}}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}\log_{a}{b}$, получаем: $\log_{4^{-1}}{7} = \frac{1}{-1}\log_{4}{7} = -\log_{4}{7}$. Теперь выражение выглядит так: $4^{-\log_{4}{7}}$. По свойству $k\log_{a}{b} = \log_{a}{b^k}$ внесем $-1$ в степень аргумента логарифма: $4^{\log_{4}{7^{-1}}}$. Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}{b}} = b$, получаем $7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

6) Для вычисления $\log_{\sqrt{3}}{\sqrt[4]{27}}$ представим основание и аргумент логарифма в виде степени одного и того же числа, в данном случае 3. Основание: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Аргумент: $\sqrt[4]{27} = (3^3)^{1/4} = 3^{3/4}$. Теперь логарифм имеет вид $\log_{3^{1/2}}{3^{3/4}}$. Воспользуемся свойством $\log_{a^k}{b^m} = \frac{m}{k}\log_{a}{b}$. Получаем: $\frac{3/4}{1/2}\log_{3}{3}$. Так как $\log_{3}{3}=1$, то результат равен $\frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.