Номер 6.32, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.32. Вычислите десятичный логарифм:

1) $\text{lg}0.001$;

2) $\text{lg}1$;

3) $\text{lg}\sqrt[3]{10}$;

4) $\text{lg}\frac{1}{\sqrt[4]{10}}$;

5) $\text{lg}10\sqrt{10}$;

6) $\text{lg}1000\sqrt{10}$.

1) Десятичный логарифм, обозначаемый как $lg$, является логарифмом по основанию 10. Для вычисления $lg(0,001)$ необходимо представить число $0,001$ как степень числа 10. Мы знаем, что $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Тогда, по определению логарифма ($log_a(a^x) = x$), получаем: $lg(0,001) = lg(10^{-3}) = -3$.

Ответ: -3

2) Чтобы вычислить $lg(1)$, вспомним, что логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Это следует из того, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $10^0 = 1$. Следовательно, $lg(1) = 0$.

Ответ: 0

3) Для вычисления $lg(\sqrt[3]{10})$ представим кубический корень из 10 в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$. Теперь применим свойство логарифма $log_a(a^x) = x$: $lg(\sqrt[3]{10}) = lg(10^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Вычислим $lg(\frac{1}{\sqrt[4]{10}})$. Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Корень четвертой степени из 10 это $10^{\frac{1}{4}}$. Тогда дробь можно записать как $\frac{1}{10^{\frac{1}{4}}}$, что, по свойству степени с отрицательным показателем, равно $10^{-\frac{1}{4}}$. Таким образом, $lg(\frac{1}{\sqrt[4]{10}}) = lg(10^{-\frac{1}{4}}) = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

5) Для вычисления $lg(10\sqrt{10})$ можно пойти двумя путями. Первый способ: представим всё выражение под логарифмом как одну степень числа 10. $10\sqrt{10} = 10^1 \cdot 10^{\frac{1}{2}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^{1+\frac{1}{2}} = 10^{\frac{3}{2}}$. Тогда $lg(10\sqrt{10}) = lg(10^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$. Второй способ: используем свойство логарифма произведения $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$. $lg(10\sqrt{10}) = lg(10) + lg(\sqrt{10}) = 1 + lg(10^{\frac{1}{2}}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

6) Для вычисления $lg(1000\sqrt{10})$ также воспользуемся одним из двух подходов. Первый способ: преобразуем выражение под логарифмом. $1000\sqrt{10} = 10^3 \cdot 10^{\frac{1}{2}} = 10^{3+\frac{1}{2}} = 10^{\frac{7}{2}}$. Отсюда $lg(1000\sqrt{10}) = lg(10^{\frac{7}{2}}) = \frac{7}{2}$. Второй способ: применим свойство логарифма произведения. $lg(1000\sqrt{10}) = lg(1000) + lg(\sqrt{10}) = lg(10^3) + lg(10^{\frac{1}{2}}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Ответ: $\frac{7}{2}$