Номер 6.27, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.27. Покажите справедливость следующего равенства (устное задание):

1) $ \lg 10000 = 4 $;

2) $ \lg 0,1 = -1 $;

3) $ \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2} $;

3) $ \log_2 8 = 3 $;

4) $ \log_2 \frac{1}{4} = -2 $;

6) $ \log_2 \sqrt{27} = 1,5 $.

1) $lg10000 = 4$;

Десятичный логарифм ($lg$) — это логарифм по основанию 10. По определению логарифма, равенство $log_b a = c$ эквивалентно равенству $b^c = a$.

В данном случае, основание $b=10$, значение логарифма $c=4$. Проверим, равно ли $10^4$ аргументу $a=10000$.

Вычисляем: $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.

Так как $10^4 = 10000$, равенство справедливо.

Другой способ: представить $10000$ как степень десяти, $10000 = 10^4$. Тогда $lg10000 = lg(10^4) = 4$.

Ответ: Равенство справедливо.

2) $lg0,1 = -1$;

Это десятичный логарифм с основанием $b=10$. Проверяем по определению $b^c = a$.

Подставляем значения: $b=10$, $c=-1$. Проверим, равен ли результат $a=0,1$.

Вычисляем: $10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Так как $10^{-1} = 0,1$, равенство справедливо.

Другой способ: $lg0,1 = lg(\frac{1}{10}) = lg(10^{-1}) = -1$.

Ответ: Равенство справедливо.

3) $lg\sqrt{10} = \frac{1}{2}$;

Это десятичный логарифм с основанием $b=10$. Проверяем по определению $b^c = a$.

Подставляем значения: $b=10$, $c=\frac{1}{2}$. Проверим, равен ли результат $a=\sqrt{10}$.

По определению степени с дробным показателем, $x^{1/2} = \sqrt{x}$. Следовательно, $10^{1/2} = \sqrt{10}$.

Равенство справедливо.

Другой способ: $lg\sqrt{10} = lg(10^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: Равенство справедливо.

3) $log_2 8 = 3$;

Это логарифм по основанию 2. Проверяем по определению $b^c = a$.

Подставляем значения: $b=2$, $c=3$. Проверим, равен ли результат $a=8$.

Вычисляем: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Так как $2^3=8$, равенство справедливо.

Другой способ: $log_2 8 = log_2(2^3) = 3$.

Ответ: Равенство справедливо.

4) $log_2 \frac{1}{4} = -2$;

Это логарифм по основанию 2. Проверяем по определению $b^c = a$.

Подставляем значения: $b=2$, $c=-2$. Проверим, равен ли результат $a=\frac{1}{4}$.

Вычисляем: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Так как $2^{-2} = \frac{1}{4}$, равенство справедливо.

Другой способ: $log_2\frac{1}{4} = log_2(2^{-2}) = -2$.

Ответ: Равенство справедливо.

6) $log_3 \sqrt{27} = 1,5$;

Это логарифм по основанию 3. Проверяем по определению $b^c = a$.

Подставляем значения: $b=3$, $c=1,5$. Проверим, равен ли результат $a=\sqrt{27}$.

Представим $1,5$ в виде дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Нам нужно проверить равенство $3^{3/2} = \sqrt{27}$.

Преобразуем левую часть: $3^{3/2} = (3^3)^{1/2} = \sqrt{27}$.

Так как левая и правая части равны, равенство справедливо.

Другой способ: $log_3 \sqrt{27} = log_3 (27^{1/2}) = \frac{1}{2}log_3 27 = \frac{1}{2}log_3 (3^3) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: Равенство справедливо.