Номер 6.30, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.30. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, найдите x:

1) $\log_2 x = 2$;

2) $\log_3 x = 2$;

3) $\log_4 x = -3$;

4) $\log_5 x = 3$;

5) $\log_x 4 = 2$;

6) $\log_x 3 = -\frac{1}{2}$.

Для решения всех уравнений воспользуемся определением логарифма, которое является эквивалентной формой основного логарифмического тождества: $ \log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a $. При решении также необходимо учитывать область определения логарифма: основание логарифма $ b $ должно быть положительным и не равным единице ($ b > 0, b \neq 1 $), а аргумент логарифма $ a $ должен быть строго положительным ($ a > 0 $).

1) Дано уравнение $ \log_2 x = 2 $.

Здесь основание $ b = 2 $, значение логарифма $ c = 2 $, и мы ищем аргумент $ a = x $.

Согласно определению логарифма, мы можем переписать это уравнение в виде степенного: $ x = 2^2 $.

Вычисляя степень, получаем: $ x = 4 $.

Аргумент $ x=4 $ положителен, так что решение корректно.

Ответ: $ x = 4 $.

2) Дано уравнение $ \log_3 x = 2 $.

Здесь основание $ b = 3 $, значение логарифма $ c = 2 $, и мы ищем аргумент $ a = x $.

Используя определение логарифма, получаем: $ x = 3^2 $.

Вычисляя степень, получаем: $ x = 9 $.

Аргумент $ x=9 $ положителен.

Ответ: $ x = 9 $.

3) Дано уравнение $ \log_4 x = -3 $.

Здесь основание $ b = 4 $, значение логарифма $ c = -3 $, и мы ищем аргумент $ a = x $.

По определению логарифма: $ x = 4^{-3} $.

Преобразуем выражение с отрицательной степенью: $ x = \frac{1}{4^3} $.

Вычисляя, получаем: $ x = \frac{1}{64} $.

Аргумент $ x = 1/64 $ положителен.

Ответ: $ x = \frac{1}{64} $.

4) Дано уравнение $ \log_5 x = 3 $.

Здесь основание $ b = 5 $, значение логарифма $ c = 3 $, и мы ищем аргумент $ a = x $.

По определению логарифма: $ x = 5^3 $.

Вычисляя степень, получаем: $ x = 125 $.

Аргумент $ x=125 $ положителен.

Ответ: $ x = 125 $.

5) Дано уравнение $ \log_x 4 = 2 $.

Здесь мы ищем основание $ b = x $, аргумент $ a = 4 $, а значение логарифма $ c = 2 $.

По определению логарифма: $ x^2 = 4 $.

Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: $ x = 2 $ и $ x = -2 $.

Однако, основание логарифма $ x $ должно быть положительным и не равным единице ($ x > 0, x \neq 1 $).

Корень $ x = -2 $ не удовлетворяет условию $ x > 0 $, поэтому мы его отбрасываем.

Корень $ x = 2 $ удовлетворяет обоим условиям ($ 2 > 0 $ и $ 2 \neq 1 $).

Ответ: $ x = 2 $.

6) Дано уравнение $ \log_x 3 = -\frac{1}{2} $.

Здесь мы ищем основание $ b = x $, аргумент $ a = 3 $, а значение логарифма $ c = -\frac{1}{2} $.

По определению логарифма: $ x^{-1/2} = 3 $.

Перепишем левую часть уравнения: $ \frac{1}{x^{1/2}} = 3 $ или $ \frac{1}{\sqrt{x}} = 3 $.

Отсюда находим $ \sqrt{x} $: $ \sqrt{x} = \frac{1}{3} $.

Чтобы найти $ x $, возведем обе части уравнения в квадрат: $ (\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{3})^2 $.

Получаем $ x = \frac{1}{9} $.

Проверяем условия для основания: $ x = \frac{1}{9} > 0 $ и $ x = \frac{1}{9} \neq 1 $. Условия выполнены.

Ответ: $ x = \frac{1}{9} $.