Вопросы, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сколько решений имеет уравнение $a^x = b$, $(a > 0, a \neq 1)$, если: 1) $b > 0$; 2) $b < 0$?

2. Что называют логарифмом положительного числа?

3. Напишите основное логарифмическое тождество.

4. Сформулируйте и докажите основные свойства логарифма.

5. Почему понятие логарифма не определено для отрицательных чисел?

6. Может ли основание логарифма быть равным 1?

7. Что называют натуральным логарифмом? Как его обозначают?

8. Что называют десятичным логарифмом?

1. Решение уравнения $a^x = b$ при $a > 0, a \neq 1$ зависит от знака $\text{b}$.

1) b > 0;

Показательная функция $y=a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$) строго монотонна, а её область значений — все положительные действительные числа $(0, +\infty)$. Это значит, что для любого $b > 0$ горизонтальная прямая $y=b$ пересечёт график функции $y=a^x$ ровно в одной точке. Следовательно, уравнение имеет единственное решение, которое по определению логарифма равно $x = \log_a b$.

Ответ: одно решение.

2) b < 0?

Значение показательной функции $a^x$ всегда положительно для любого действительного числа $\text{x}$. Поэтому, если $b < 0$ (или $b=0$), то $\text{b}$ не входит в область значений функции $y=a^x$. Следовательно, не существует такого $\text{x}$, чтобы равенство $a^x=b$ было верным.

Ответ: нет решений.

2. Логарифмом положительного числа $\text{b}$ по основанию $\text{a}$ (где $a > 0, a \neq 1$) называется такой показатель степени $\text{x}$, в которую нужно возвести основание $\text{a}$, чтобы получить число $\text{b}$. Запись $\log_a b = x$ равносильна записи $a^x = b$.

Ответ: Логарифмом положительного числа $\text{b}$ по основанию $\text{a}$ (при $a > 0, a \neq 1$) называют показатель степени $\text{x}$, для которого выполняется равенство $a^x = b$.

3. Основное логарифмическое тождество вытекает непосредственно из определения логарифма. Определение логарифма: $\log_a b = x$ тогда и только тогда, когда $a^x = b$. Если в равенство $a^x = b$ подставить вместо $\text{x}$ его выражение $\log_a b$, то получится тождество $a^{\log_a b} = b$. Оно справедливо при $a > 0, a \neq 1$ и $b > 0$.

Ответ: $a^{\log_a b} = b$.

4. Основные свойства логарифмов справедливы при условиях, что основания логарифмов — положительные и не равные единице числа, а выражения под знаком логарифма — положительные. Пусть $a > 0, a \neq 1, c > 0, c \neq 1, x > 0, y > 0$ и $p \in \mathbb{R}$.

1. Логарифм произведения

Формулировка: Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.

Доказательство: Пусть $\log_a x = m$ и $\log_a y = n$. По определению логарифма, $x = a^m$ и $y = a^n$. Тогда $xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Снова используя определение логарифма, для равенства $xy = a^{m+n}$ имеем $\log_a(xy) = m+n$. Заменяя $\text{m}$ и $\text{n}$ их логарифмическими выражениями, получаем $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.

2. Логарифм частного

Формулировка: Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$.

Доказательство: Пусть $\log_a x = m$ и $\log_a y = n$, тогда $x = a^m$ и $y = a^n$. Тогда $\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. По определению логарифма, из этого следует, что $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = m-n$. После подстановки $\text{m}$ и $\text{n}$ получаем $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$.

3. Логарифм степени

Формулировка: Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$.

Доказательство: Пусть $\log_a x = m$, тогда $x = a^m$. Возведём обе части в степень $\text{p}$: $x^p = (a^m)^p = a^{mp}$. По определению логарифма, $\log_a(x^p) = mp$. Подставляя $\text{m}$, получаем $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$.

4. Формула перехода к новому основанию

Формулировка: Логарифм числа по основанию $\text{a}$ равен отношению логарифма этого числа по новому основанию $\text{c}$ к логарифму старого основания $\text{a}$ по новому основанию $\text{c}$: $\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$.

Доказательство: Пусть $\log_a x = y$. По определению, $a^y = x$. Прологарифмируем обе части равенства по основанию $\text{c}$: $\log_c(a^y) = \log_c x$. Используя свойство логарифма степени, получаем $y \cdot \log_c a = \log_c x$. Отсюда $y = \frac{\log_c x}{\log_c a}$. Так как $y = \log_a x$, то $\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$.

Ответ: Основные свойства логарифма:

1) Логарифм произведения: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$

2) Логарифм частного: $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$

3) Логарифм степени: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$

4) Формула перехода к новому основанию: $\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$

5. Понятие логарифма тесно связано с показательной функцией. Логарифм $\log_a b$ является решением уравнения $a^x = b$. При $a > 0$, показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения. То есть, $a^x > 0$ для любого действительного $\text{x}$. Это означает, что уравнение $a^x = b$ не имеет решений, если $\text{b}$ является отрицательным числом или нулём. Поскольку решения нет, то и логарифм для таких чисел не определён в области действительных чисел.

Ответ: Понятие логарифма не определено для отрицательных чисел (и нуля), так как показательная функция с положительным основанием принимает только положительные значения.

6. Нет, основание логарифма не может быть равным 1. Рассмотрим, что означало бы существование логарифма по основанию 1, например, $\log_1 b = x$. По определению, это было бы эквивалентно уравнению $1^x = b$.

1. Если $b=1$, то уравнение $1^x = 1$ справедливо для любого действительного числа $\text{x}$. В этом случае $\log_1 1$ был бы неопределён, так как ему соответствовало бы бесконечно много значений.

2. Если $b \neq 1$, то уравнение $1^x = b$ не имеет решений, так как 1 в любой степени равно 1. В этом случае $\log_1 b$ не существовал бы.

Из-за этой неоднозначности и отсутствия решений основание логарифма не может быть равно 1.

Ответ: Нет, не может, так как это привело бы к неопределённости или отсутствию решения.

7. Натуральным логарифмом называют логарифм по основанию $\text{e}$. Число $\text{e}$ — это иррациональная и трансцендентная константа, примерно равная $2.71828$. Натуральный логарифм числа $\text{x}$ обозначается как $\ln x$, что является сокращением для $\log_e x$.

Ответ: Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e \approx 2.71828$. Он обозначается как $\ln x$.

8. Десятичным логарифмом называют логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа $\text{x}$ принято обозначать как $\lg x$, что является сокращением для $\log_{10} x$. Иногда, особенно в инженерных и прикладных науках, его могут обозначать просто как $\log x$, опуская основание 10 по умолчанию.

Ответ: Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Он обозначается как $\lg x$.