Номер 6.19, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.19. С помощью графического онлайн-калькулятора постройте графики функций $y = \sqrt{2^x}$ и $y = \sqrt{3^x}$ на одной координатной плоскости.

1) Решите уравнение $\sqrt{3^x} = \sqrt{2^x}$;

2) решите неравенство $\frac{1}{\sqrt{3^x}} < \frac{1}{\sqrt{2^x}}$.

1) Решите уравнение $\sqrt{3^x} = \sqrt{2^x}$

Исходное уравнение: $\sqrt{3^x} = \sqrt{2^x}$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$. Корни можно представить в виде степеней с дробным показателем:

$\sqrt{3^x} = (3^x)^{1/2} = 3^{x/2}$

$\sqrt{2^x} = (2^x)^{1/2} = 2^{x/2}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$3^{x/2} = 2^{x/2}$

Разделим обе части уравнения на $2^{x/2}$. Так как выражение $2^{x/2}$ всегда положительно ($2^{x/2} > 0$ при любом $\text{x}$), это является равносильным преобразованием.

$\frac{3^{x/2}}{2^{x/2}} = 1$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{3}{2})^{x/2} = 1$

Мы получили показательное уравнение. Уравнение вида $a^{f(x)} = 1$, где основание $a>0$ и $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x)=0$. В нашем случае основание степени равно $\frac{3}{2}$, что больше 1. Следовательно, равенство возможно только тогда, когда показатель степени равен нулю:

$\frac{x}{2} = 0$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = 0$

Этот результат также следует из графического представления. Графики функций $y = (\sqrt{3})^x$ и $y = (\sqrt{2})^x$ являются возрастающими показательными функциями, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения — $(0, 1)$, так как любое положительное число в степени 0 равно 1. Следовательно, абсцисса точки пересечения, являющаяся решением уравнения, равна 0.

Ответ: $x=0$.

2) решите неравенство $\frac{1}{\sqrt{3^x}} < \frac{1}{\sqrt{2^x}}$

Исходное неравенство: $\frac{1}{\sqrt{3^x}} < \frac{1}{\sqrt{2^x}}$.

Знаменатели $\sqrt{3^x}$ и $\sqrt{2^x}$ всегда положительны при любом действительном $\text{x}$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\sqrt{3^x} > \sqrt{2^x}$

Как и в предыдущем пункте, преобразуем это неравенство, используя свойства степеней:

$3^{x/2} > 2^{x/2}$

Разделим обе части неравенства на $2^{x/2}$. Так как $2^{x/2} > 0$, знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{3^{x/2}}{2^{x/2}} > 1$

$(\frac{3}{2})^{x/2} > 1$

Представим 1 в виде степени с тем же основанием $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2})^{x/2} > (\frac{3}{2})^0$

Так как основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция $y = a^t$ является строго возрастающей. Это означает, что если значение функции больше, то и ее аргумент больше. Следовательно, неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак:

$\frac{x}{2} > 0$

Умножив обе части на 2, получаем окончательное решение:

$x > 0$

Графически, решение неравенства $\sqrt{3^x} > \sqrt{2^x}$ соответствует тем значениям $\text{x}$, при которых график функции $y = \sqrt{3^x}$ расположен выше графика функции $y = \sqrt{2^x}$. Так как основание $\sqrt{3}$ больше основания $\sqrt{2}$, это условие выполняется для всех $x > 0$.

Ответ: $x > 0$ или $(0; +\infty)$.