Номер 6.13, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.13. Возрастает или убывает данная функция?

1) $f(x) = \sqrt{5^x}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5^x}}$;

3) $f(x) = \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)^x$;

4) $f(x) = \left(\frac{2}{3 - 2\sqrt{2}}\right)^x$;

5) $f(x) = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x$;

6) $f(x) = \left(\frac{3}{\pi}\right)^x$;

7) $f(x) = (4 - \sqrt{7})^x$;

8) $f(x) = \left(\frac{4 + \sqrt{7}}{9}\right)^x$.

Для определения, возрастает или убывает показательная функция вида $f(x) = a^x$, необходимо сравнить ее основание $\text{a}$ с единицей. Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Если $0 < a < 1$, функция является убывающей.

1) $f(x) = \sqrt{5}^x$

Основание функции $a = \sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Поскольку основание $a > 1$, функция возрастает.

Ответ: возрастает.

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5}^x}$

Представим функцию в виде $f(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$. Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Из пункта 1 известно, что $\sqrt{5} > 1$. Следовательно, $0 < \frac{1}{\sqrt{5}} < 1$. Так как основание $\text{a}$ находится в интервале $(0, 1)$, функция убывает.

Ответ: убывает.

3) $f(x) = \left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{3}{2}-\sqrt{2}$. Сначала сравним $\text{a}$ с 0. Для этого сравним $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{2}$, возведя их в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = 2.25$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $2.25 > 2$, то $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$, и, следовательно, $a > 0$. Теперь сравним $\text{a}$ с 1: $\frac{3}{2}-\sqrt{2} < 1 \iff \frac{1}{2} < \sqrt{2}$. Возведем в квадрат положительные части: $(\frac{1}{2})^2 < (\sqrt{2})^2 \iff \frac{1}{4} < 2$, что верно. Таким образом, $0 < a < 1$, и функция убывает.

Ответ: убывает.

4) $f(x) = \left(\frac{2}{3-2\sqrt{2}}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{2}{3-2\sqrt{2}}$. Упростим выражение для основания, избавившись от иррациональности в знаменателе. $a = \frac{2}{3-2\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot (3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{2(3+2\sqrt{2})}{3^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{2(3+2\sqrt{2})}{9-8} = 6+4\sqrt{2}$. Поскольку $a = 6+4\sqrt{2} > 1$, функция возрастает.

Ответ: возрастает.

5) $f(x) = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{\pi}{3}$. Так как число $\pi \approx 3.14159$, то $\pi > 3$, и, следовательно, $a = \frac{\pi}{3} > 1$. Функция возрастает.

Ответ: возрастает.

6) $f(x) = \left(\frac{3}{\pi}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{3}{\pi}$. Так как $\pi > 3$, то $0 < \frac{3}{\pi} < 1$. Поскольку основание $\text{a}$ находится в интервале $(0, 1)$, функция убывает.

Ответ: убывает.

7) $f(x) = (4-\sqrt{7})^x$

Основание функции $a = 4-\sqrt{7}$. Сравним $\text{a}$ с 1: $4-\sqrt{7} > 1 \iff 3 > \sqrt{7}$. Возведя в квадрат обе положительные части, получаем $9 > 7$, что является верным неравенством. Следовательно, $a > 1$, и функция возрастает.

Ответ: возрастает.

8) $f(x) = \left(\frac{4+\sqrt{7}}{9}\right)^x$

Основание функции $a = \frac{4+\sqrt{7}}{9}$. Сравним $\text{a}$ с 1: $\frac{4+\sqrt{7}}{9} < 1 \iff 4+\sqrt{7} < 9 \iff \sqrt{7} < 5$. Возведя в квадрат обе положительные части, получаем $7 < 25$, что является верным неравенством. Основание $\text{a}$ положительно, так как числитель и знаменатель положительны. Таким образом, $0 < a < 1$, и функция убывает.

Ответ: убывает.