Номер 6.12, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.12. Постройте график функции. Найдите область определения и множество значений функции.

1) $f(x) = 3^x + 1$;

2) $f(x) = 3^{x-1}$;

3) $f(x) = 3^{|x|}$;

4) $f(x) = 3^{-|x|}$.

1) $f(x) = 3^x + 1$

Построение графика:

График функции $f(x) = 3^x + 1$ получается из графика показательной функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$ на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота графика $y=3^x$ — это прямая $y=0$. При сдвиге вверх на 1, асимптота для графика $f(x)$ становится $y=1$. График проходит через точку $(0, 2)$, так как $f(0) = 3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Функция является возрастающей.

Область определения:

Выражение $3^x$ определено для любого действительного значения $\text{x}$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Для любого действительного числа $\text{x}$ значение показательной функции $3^x$ строго положительно, то есть $3^x > 0$. Тогда $3^x + 1 > 1$. Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго большие 1. $E(f) = (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(f) = (1; +\infty)$.

2) $f(x) = 3^{x-1}$

Построение графика:

График функции $f(x) = 3^{x-1}$ получается из графика функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс $Ox$ на 1 единицу вправо. Горизонтальная асимптота $y=0$ при этом не меняется. Точка $(0, 1)$ на графике $y=3^x$ сдвигается в точку $(1, 1)$ на графике $f(x)$, так как $f(1) = 3^{1-1} = 3^0 = 1$. Функция является возрастающей.

Область определения:

Показатель степени $x-1$ определен для любого действительного значения $\text{x}$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Поскольку $x-1$ может принимать любое действительное значение, то и функция $f(x)=3^{x-1}$ принимает все значения, которые принимает стандартная показательная функция $y=3^t$. Множество значений показательной функции с основанием больше 1 — это все положительные числа. $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

3) $f(x) = 3^{|x|}$

Построение графика:

Функция является четной, так как $f(-x) = 3^{|-x|} = 3^{|x|} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$.

Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = 3^x$. Это ветвь стандартной показательной функции, проходящая через точку $(0, 1)$ и возрастающая вправо.

Для $x < 0$ график является зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси $Oy$. Таким образом, график состоит из двух симметричных ветвей, исходящих из точки минимума $(0, 1)$.

Область определения:

Выражение $|x|$ определено для любого действительного значения $\text{x}$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Поскольку $|x| \ge 0$ для любого $\text{x}$, а функция $y=3^t$ является возрастающей, наименьшее значение функция $f(x)$ принимает при наименьшем значении показателя $|x|$, то есть при $|x|=0$. Это происходит при $x=0$.

$f_{min} = f(0) = 3^{|0|} = 3^0 = 1$.

При $x \to \pm\infty$, $|x| \to \infty$, и $f(x) = 3^{|x|} \to \infty$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, большие или равные 1. $E(f) = [1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(f) = [1; +\infty)$.

4) $f(x) = 3^{-|x|}$

Построение графика:

Функция является четной, так как $f(-x) = 3^{-|-x|} = 3^{-|x|} = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси $Oy$. Функцию можно записать как $f(x) = (1/3)^{|x|}$.

Для $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и $f(x) = 3^{-x} = (1/3)^x$. Это ветвь убывающей показательной функции, проходящая через точку $(0, 1)$.

Для $x < 0$ график является зеркальным отражением этой ветви относительно оси $Oy$. График имеет вид "холма" с вершиной в точке $(0, 1)$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Область определения:

Выражение $-|x|$ определено для любого действительного значения $\text{x}$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Поскольку $|x| \ge 0$, то $-|x| \le 0$. Так как функция $y=3^t$ возрастающая, наибольшее значение функция $f(x)$ принимает при наибольшем значении показателя $-|x|$, то есть при $-|x|=0$. Это происходит при $x=0$.

$f_{max} = f(0) = 3^{-|0|} = 3^0 = 1$.

При $x \to \pm\infty$, $|x| \to \infty$, $-|x| \to -\infty$, и $f(x) = 3^{-|x|} \to 0$.

Так как показательная функция всегда принимает строго положительные значения, $f(x) > 0$. Следовательно, множество значений функции — это все числа в полуинтервале $(0, 1]$. $E(f) = (0; 1]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(f) = (0; 1]$.