Номер 6.5, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.5. Возрастает или убывает данная функция? Постройте график функции.

1) $y = e^{3 - x}$;

2) $y = e^{2x - 5}$.

1) y = e^3-x;

Чтобы определить, возрастает или убывает функция, найдем ее производную. Функция является сложной, вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = 3-x$. Производная находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$.

Найдем производную показателя степени: $u'(x) = (3-x)' = -1$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$y' = (e^{3-x})' = e^{3-x} \cdot (3-x)' = e^{3-x} \cdot (-1) = -e^{3-x}$.

Проанализируем знак производной. Показательная функция $e^z$ всегда положительна при любом действительном $\text{z}$. Следовательно, $e^{3-x} > 0$ для всех $\text{x}$.

Поскольку $e^{3-x}$ всегда положительно, производная $y' = -e^{3-x}$ всегда будет отрицательной ($y' < 0$) на всей области определения.

Если производная функции отрицательна на всем промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Следовательно, функция $y = e^{3-x}$ убывает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Для построения графика функции исследуем ее свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$, так как показательная функция всегда принимает только положительные значения.
• Асимптоты: При $x \to +\infty$, показатель степени $(3-x) \to -\infty$, и $y = e^{3-x} \to 0$. Таким образом, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = e^{3-0} = e^3$. Точка пересечения — $(0, e^3)$. ($e^3 \approx 20.09$)
  • С осью Ox (при $y=0$): $e^{3-x} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как $e^z > 0$. График не пересекает ось Ox.
• Контрольные точки: Найдем значение $\text{x}$, при котором показатель степени равен 0: $3-x=0 \implies x=3$. В этой точке $y = e^0 = 1$. График проходит через точку $(3, 1)$.

График функции — это кривая, симметричная графику функции $y=e^x$ относительно оси Oy (это график $y=e^{-x}$) и сдвинутая на 3 единицы вправо. Она убывает на всей области определения, проходит через точки $(3, 1)$ и $(0, e^3)$ и асимптотически приближается к оси абсцисс справа.

Ответ: функция убывает.

2) y = e^2x-5;

Для определения характера монотонности найдем производную функции. Функция является сложной, вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = 2x-5$. Производная находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$.

Найдем производную показателя степени: $u'(x) = (2x-5)' = 2$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$y' = (e^{2x-5})' = e^{2x-5} \cdot (2x-5)' = e^{2x-5} \cdot 2 = 2e^{2x-5}$.

Проанализируем знак производной. Показательная функция $e^{2x-5}$ всегда положительна для всех $\text{x}$. Множитель 2 также положителен.

Произведение двух положительных величин всегда положительно, следовательно, производная $y' = 2e^{2x-5}$ всегда положительна ($y' > 0$) на всей области определения.

Если производная функции положительна на всем промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Следовательно, функция $y = e^{2x-5}$ возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Для построения графика функции исследуем ее свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптоты: При $x \to -\infty$, показатель степени $(2x-5) \to -\infty$, и $y = e^{2x-5} \to 0$. Таким образом, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.
• Пересечение с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = e^{2(0)-5} = e^{-5} = 1/e^5$. Точка пересечения — $(0, e^{-5})$. ($e^{-5} \approx 0.0067$)
  • С осью Ox (при $y=0$): $e^{2x-5} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
• Контрольные точки: Найдем значение $\text{x}$, при котором показатель степени равен 0: $2x-5=0 \implies x=2.5$. В этой точке $y = e^0 = 1$. График проходит через точку $(2.5, 1)$.

График функции — это кривая, являющаяся преобразованием графика $y=e^x$ (горизонтальное сжатие в 2 раза и сдвиг на 2.5 вправо). Она возрастает на всей области определения, проходит через точки $(2.5, 1)$ и $(0, e^{-5})$ и асимптотически приближается к оси абсцисс слева.

Ответ: функция возрастает.