Номер 6.4, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.4. Найдите область определения функции:

1) $y = e^{\frac{x-1}{x+3}}$;

2) $y = e^{\sqrt{x^2-8x+2}}$

1)Область определения показательной функции $y = e^{f(x)}$ совпадает с областью определения ее показателя $f(x)$. В данном случае показатель $f(x) = \frac{x-1}{x+3}$ является дробно-рациональной функцией.

Дробь имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому необходимо найти значения $\text{x}$, при которых знаменатель $x+3$ обращается в ноль, и исключить их из области определения.

$x + 3 \neq 0$

$x \neq -3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-3$. В виде промежутка это записывается как объединение двух интервалов.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; \infty)$.

2)Область определения данной функции $y = e^{\sqrt{x^2-8x+2}}$ определяется областью определения ее показателя, то есть выражения $\sqrt{x^2-8x+2}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 8x + 2 \geq 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 2 = 0$, используя формулу для нахождения корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 64 - 8 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 4 \pm \sqrt{14}$

Мы получили два корня: $x_1 = 4 - \sqrt{14}$ и $x_2 = 4 + \sqrt{14}$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения ($\geq 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков:

$x \in (-\infty; 4 - \sqrt{14}] \cup [4 + \sqrt{14}; +\infty)$

Это и есть область определения исходной функции.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 4 - \sqrt{14}] \cup [4 + \sqrt{14}; +\infty)$.