Номер 5.74, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.74. Определите знак выражения:

1) $\sin \frac{17\pi}{4}$;

2) $\tan 3$, $3\pi$.

1)

Чтобы определить знак выражения $ \sin{\frac{17\pi}{4}} $, необходимо сначала упростить его аргумент. Представим угол $ \frac{17\pi}{4} $ в виде суммы, выделив целое число полных оборотов, равных $ 2\pi $.

$ \frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4} $

Функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, что означает $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $ k $. В нашем случае $ k=2 $, поэтому мы можем отбросить $ 4\pi $:

$ \sin{\frac{17\pi}{4}} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin{\frac{\pi}{4}} $

Угол $ \frac{\pi}{4} $ находится в первой координатной четверти, так как $ 0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $. В первой четверти значения функции синус положительны.

Следовательно, знак выражения $ \sin{\frac{17\pi}{4}} $ является положительным.

Ответ: +

2)

Рассмотрим выражение как произведение $ \text{tg}3 \cdot 3\pi $. Чтобы определить его знак, найдем знаки каждого из сомножителей.

Определим знак первого сомножителя $ \text{tg}3 $. Аргумент функции задан в радианах. Необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол, равный 3 радианам. Воспользуемся приближенным значением числа $ \pi \approx 3,14159 $.

$ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57 $

$ \pi \approx 3,14159 $

Так как выполняется неравенство $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $ (или $ 1,57 < 3 < 3,14 $), угол в 3 радиана расположен во второй координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет отрицательное значение, поскольку $ \text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $, а во второй четверти $ \sin(x) > 0 $ и $ \cos(x) < 0 $. Таким образом, $ \text{tg}3 < 0 $.

Определим знак второго сомножителя $ 3\pi $. Так как $ 3 > 0 $ и $ \pi > 0 $, их произведение также положительно: $ 3\pi > 0 $.

Теперь найдем знак исходного выражения, перемножив знаки сомножителей:

$ (\text{знак } \text{tg}3) \cdot (\text{знак } 3\pi) = (-) \cdot (+) = (-) $

Следовательно, знак выражения отрицательный.

Ответ: -