Номер 5.69, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.69. Известно, что $\text{p}$ и $\text{q}$ – действительные числа, а число $a = 1 + 2i$ – корень уравнения $z^2 + (p + 5i)z + q(2 - i) = 0$. Определите значения $\text{p}$ и $\text{q}$. Найдите второй корень уравнения.

Поскольку число $a = 1 + 2i$ является корнем уравнения $z^2 + (p + 5i)z + q(2 - i) = 0$, оно должно удовлетворять этому уравнению. Подставим $z = 1 + 2i$ в уравнение:

$(1 + 2i)^2 + (p + 5i)(1 + 2i) + q(2 - i) = 0$

Раскроем скобки и упростим каждый член уравнения.

$(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

$(p + 5i)(1 + 2i) = p \cdot 1 + p \cdot 2i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot 2i = p + 2pi + 5i + 10i^2 = p + (2p + 5)i - 10 = (p - 10) + (2p + 5)i$

$q(2 - i) = 2q - qi$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(-3 + 4i) + ((p - 10) + (2p + 5)i) + (2q - qi) = 0$

Сгруппируем действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю.

Действительная часть: $-3 + p - 10 + 2q = 0 \implies p + 2q = 13$

Мнимая часть: $4 + 2p + 5 - q = 0 \implies 2p - q = -9$

Определите значения p и q.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $\text{p}$ и $\text{q}$, так как $\text{p}$ и $\text{q}$ - действительные числа:

$\begin{cases} p + 2q = 13 \\ 2p - q = -9 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\text{q}$: $q = 2p + 9$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$p + 2(2p + 9) = 13$

$p + 4p + 18 = 13$

$5p = 13 - 18$

$5p = -5$

$p = -1$

Теперь найдем $\text{q}$, подставив значение $\text{p}$ в выражение для $\text{q}$:

$q = 2(-1) + 9 = -2 + 9 = 7$

Таким образом, значения действительных чисел $\text{p}$ и $\text{q}$ равны $-1$ и $\text{7}$ соответственно.

Ответ: $p = -1, q = 7$.

Найдите второй корень уравнения.

Подставим найденные значения $p = -1$ и $q = 7$ в исходное уравнение:

$z^2 + (-1 + 5i)z + 7(2 - i) = 0$

$z^2 + (-1 + 5i)z + (14 - 7i) = 0$

Пусть $z_1$ и $z_2$ — корни этого квадратного уравнения. По условию, один из корней $z_1 = 1 + 2i$. Второй корень $z_2$ можно найти, используя теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней $z_1 + z_2$ для приведенного квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$ равна $-b$. В нашем случае $b = -1 + 5i$.

$z_1 + z_2 = -(-1 + 5i) = 1 - 5i$

Подставим известный корень $z_1 = 1 + 2i$ и найдем $z_2$:

$(1 + 2i) + z_2 = 1 - 5i$

$z_2 = (1 - 5i) - (1 + 2i) = 1 - 5i - 1 - 2i = -7i$

Для проверки можно использовать вторую формулу Виета (произведение корней): $z_1 \cdot z_2 = c$, где $c = 14 - 7i$.

$(1 + 2i) \cdot (-7i) = -7i - 14i^2 = -7i - 14(-1) = 14 - 7i$.

Результат совпадает, следовательно, второй корень найден верно.

Ответ: Второй корень уравнения равен $-7i$.