Номер 5.64, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.64. Для кубического уравнения $3z^3 - 2z^2 + 22z + 40 = 0$:

1) покажите, что число $1 + 3i$ является корнем уравнения;

2) объясните, почему данное уравнение имеет только один действительный корень.

Найдите остальные корни уравнения.

1) покажите, что число $1 + 3i$ является корнем уравнения;

Чтобы проверить, является ли число $z = 1 + 3i$ корнем кубического уравнения $3z^3 - 2z^2 + 22z + 40 = 0$, подставим это значение в уравнение.

Сначала вычислим степени $\text{z}$:

$z^2 = (1 + 3i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i$.

$z^3 = z \cdot z^2 = (1 + 3i)(-8 + 6i) = 1(-8) + 1(6i) + 3i(-8) + 3i(6i) = -8 + 6i - 24i + 18i^2 = -8 - 18i - 18 = -26 - 18i$.

Теперь подставим найденные значения в исходное уравнение:

$3z^3 - 2z^2 + 22z + 40 = 3(-26 - 18i) - 2(-8 + 6i) + 22(1 + 3i) + 40$

$= (-78 - 54i) - (-16 + 12i) + (22 + 66i) + 40$

$= -78 - 54i + 16 - 12i + 22 + 66i + 40$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $-78 + 16 + 22 + 40 = -78 + 78 = 0$.

Мнимая часть: $-54 - 12 + 66 = -66 + 66 = 0$.

В результате получаем $0 + 0i = 0$, что подтверждает, что $1 + 3i$ является корнем уравнения.

Ответ: Подстановка $z = 1 + 3i$ в уравнение дает верное равенство $0=0$.

2) объясните, почему данное уравнение имеет только один действительный корень.

Рассмотрим функцию $f(z) = 3z^3 - 2z^2 + 22z + 40$. Чтобы определить количество действительных корней, исследуем поведение этой функции на множестве действительных чисел $\text{x}$, то есть $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 22x + 40$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^3 - 2x^2 + 22x + 40)' = 9x^2 - 4x + 22$.

Чтобы найти точки экстремума, нужно приравнять производную к нулю: $9x^2 - 4x + 22 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 22 = 16 - 792 = -776$.

Так как дискриминант $\Delta < 0$ и старший коэффициент $a = 9 > 0$, квадратный трехчлен $9x^2 - 4x + 22$ всегда положителен для любого действительного $\text{x}$.

Следовательно, производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго монотонная непрерывная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Поскольку на $-\infty$ функция стремится к $-\infty$ (так как $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$), а на $+\infty$ стремится к $+\infty$ (так как $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$), по теореме о промежуточном значении она пересекает ось абсцисс хотя бы один раз.

Таким образом, уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно один действительный корень.

Ответ: Производная функции $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 22x + 40$ всегда положительна, следовательно, функция строго возрастает и может пересечь ось Ox только один раз.

Найдите остальные корни уравнения.

Исходное уравнение $3z^3 - 2z^2 + 22z + 40 = 0$ является полиномиальным уравнением с действительными коэффициентами.

По свойству таких уравнений, если комплексное число $z_1 = 1 + 3i$ является корнем, то и сопряженное ему число $z_2 = 1 - 3i$ также является корнем.

Таким образом, мы знаем два корня из трех. Третий корень, $z_3$, можно найти, используя теорему Виета.

Для кубического уравнения вида $az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ сумма корней равна $z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{b}{a}$.

В нашем случае $a=3$, $b=-2$, $c=22$, $d=40$.

Сумма корней: $z_1 + z_2 + z_3 = - \frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$.

Подставим известные корни:

$(1 + 3i) + (1 - 3i) + z_3 = \frac{2}{3}$

$2 + z_3 = \frac{2}{3}$

$z_3 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}$.

Третий корень является действительным числом, что согласуется с выводом из пункта 2.

Итак, остальные корни уравнения — это $1 - 3i$ и $-\frac{4}{3}$.

Ответ: $1 - 3i$ и $-\frac{4}{3}$.