Номер 5.60, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.60. Решите биквадратное уравнение:

1) $z^4 + 2z^2 = 3;$

2) $z^4 = z^2 + 6;$

3) $z^4 + 5z^2 = 36;$

4) $z^4 + 9z^2 + 14 = 3;$

5) $z^4 + 1 = 2z^2;$

6) $z^4 + 2z^2 + 1 = 0.$

1) Уравнение $z^4 + 2z^2 = 3$ приводится к виду $z^4 + 2z^2 - 3 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = z^2$. Уравнение становится квадратным: $y^2 + 2y - 3 = 0$. По теореме Виета находим его корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$. Возвращаемся к переменной $\text{z}$. Из $z^2 = y_1 = 1$ следует, что $z = \pm 1$. Из $z^2 = y_2 = -3$ следует, что $z = \pm \sqrt{-3} = \pm i\sqrt{3}$.

Ответ: $\pm 1, \pm i\sqrt{3}$.

2) Уравнение $z^4 = z^2 + 6$ перепишем как $z^4 - z^2 - 6 = 0$. Сделав замену $y = z^2$, получим квадратное уравнение $y^2 - y - 6 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$. Производим обратную замену: 1) $z^2 = 3$, откуда $z = \pm \sqrt{3}$. 2) $z^2 = -2$, откуда $z = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm \sqrt{3}, \pm i\sqrt{2}$.

3) Уравнение $z^4 + 5z^2 = 36$ перепишем как $z^4 + 5z^2 - 36 = 0$. Замена $y = z^2$ приводит к уравнению $y^2 + 5y - 36 = 0$. Решим его через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Корни $y = \frac{-5 \pm 13}{2}$, то есть $y_1 = \frac{-5 + 13}{2} = 4$ и $y_2 = \frac{-5 - 13}{2} = -9$. Обратная замена: 1) $z^2 = 4$, откуда $z = \pm 2$. 2) $z^2 = -9$, откуда $z = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$.

Ответ: $\pm 2, \pm 3i$.

4) Уравнение $z^4 + 9z^2 + 14 = 3$ приводится к виду $z^4 + 9z^2 + 11 = 0$. Пусть $y = z^2$, тогда $y^2 + 9y + 11 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4(1)(11) = 81 - 44 = 37$. Корни для $\text{y}$: $y_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{37}}{2}$. Оба корня отрицательны. Производим обратную замену: 1) $z^2 = \frac{-9 + \sqrt{37}}{2} = - \frac{9 - \sqrt{37}}{2}$. Отсюда $z = \pm i\sqrt{\frac{9 - \sqrt{37}}{2}}$. 2) $z^2 = \frac{-9 - \sqrt{37}}{2} = - \frac{9 + \sqrt{37}}{2}$. Отсюда $z = \pm i\sqrt{\frac{9 + \sqrt{37}}{2}}$.

Ответ: $\pm i\sqrt{\frac{9 - \sqrt{37}}{2}}, \pm i\sqrt{\frac{9 + \sqrt{37}}{2}}$.

5) Уравнение $z^4 + 1 = 2z^2$ перепишем как $z^4 - 2z^2 + 1 = 0$. Левая часть является полным квадратом разности: $(z^2 - 1)^2 = 0$. Отсюда $z^2 - 1 = 0$, то есть $z^2 = 1$. Следовательно, $z = \pm 1$. Каждый корень имеет кратность 2.

Ответ: $\pm 1$.

6) Уравнение $z^4 + 2z^2 + 1 = 0$ представляет собой полный квадрат суммы: $(z^2 + 1)^2 = 0$. Отсюда $z^2 + 1 = 0$, то есть $z^2 = -1$. Следовательно, $z = \pm \sqrt{-1} = \pm i$. Каждый корень имеет кратность 2.

Ответ: $\pm i$.