Номер 5.61, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.61. Составьте квадратное уравнение по его корням $2 \pm \sqrt{3}i$.

Для составления квадратного уравнения по его корням воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна коэффициенту при $\text{x}$ с противоположным знаком ($-p$), а произведение корней равно свободному члену ($\text{q}$).

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В условии даны корни уравнения:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}i$

$x_2 = 2 - \sqrt{3}i$

1. Найдем сумму корней, чтобы определить коэффициент $\text{p}$.

$x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}i) + (2 - \sqrt{3}i) = 2 + 2 + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i = 4$

Так как $x_1 + x_2 = -p$, то $-p = 4$, откуда $p = -4$.

2. Найдем произведение корней, чтобы определить коэффициент $\text{q}$.

$x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{3}i)(2 - \sqrt{3}i)$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2$ и $b=\sqrt{3}i$.

$x_1 \cdot x_2 = 2^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 4 - ((\sqrt{3})^2 \cdot i^2)$

Поскольку $i^2 = -1$, получаем:

$x_1 \cdot x_2 = 4 - (3 \cdot (-1)) = 4 + 3 = 7$

Так как $x_1 \cdot x_2 = q$, то $q = 7$.

3. Подставим найденные значения $p=-4$ и $q=7$ в приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$.

Искомое уравнение имеет вид:

$x^2 - 4x + 7 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x + 7 = 0$