Номер 5.55, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.55. Разложив на множители, решите кубическое уравнение относительно комплексного числа $\text{x}$:

1) $x^3 - 4x = 0;$

2) $x^3 + 2x = 0;$

3) $x^3 + 4x = 0;$

4) $x^3 - 3x = 0;$

5) $x^3 + 3x = 0.$

1) Чтобы решить уравнение $x^3 - 4x = 0$, разложим его левую часть на множители. Сначала вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, так как $4=2^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к трем возможным решениям:

$x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Все корни являются действительными числами.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2$.

2) Решим уравнение $x^3 + 2x = 0$ относительно комплексного числа $\text{x}$.

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(x^2 + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение: $x^2 = -2$.

Для нахождения $\text{x}$ извлечем квадратный корень из $-2$. В поле комплексных чисел это выполняется следующим образом: $x = \pm\sqrt{-2} = \pm\sqrt{2 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{2} \cdot \sqrt{-1}$. Используя определение мнимой единицы $i = \sqrt{-1}$, получаем:

$x = \pm i\sqrt{2}$

Таким образом, мы получаем еще два комплексных корня: $x_2 = i\sqrt{2}$ и $x_3 = -i\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = i\sqrt{2}, x_3 = -i\sqrt{2}$.

3) Решим уравнение $x^3 + 4x = 0$.

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(x^2 + 4) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 4 = 0$, откуда $x^2 = -4$.

Извлекая квадратный корень из $-4$ в множестве комплексных чисел, находим: $x = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm 2i$.

Следовательно, два других корня уравнения: $x_2 = 2i$ и $x_3 = -2i$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2i, x_3 = -2i$.

4) Решим уравнение $x^3 - 3x = 0$.

Для разложения на множители вынесем $\text{x}$ за скобки:

$x(x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, что дает два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 3 = 0$, откуда $x^2 = 3$.

Извлекая квадратный корень из 3, находим два действительных корня: $x = \pm\sqrt{3}$.

Таким образом, решениями являются $x_2 = \sqrt{3}$ и $x_3 = -\sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$.

5) Решим уравнение $x^3 + 3x = 0$ в комплексных числах.

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(x^2 + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 3 = 0$, что эквивалентно $x^2 = -3$.

Для нахождения $\text{x}$ извлечем комплексный квадратный корень из $-3$: $x = \pm\sqrt{-3} = \pm\sqrt{3 \cdot (-1)} = \pm i\sqrt{3}$.

Таким образом, остальные два корня уравнения: $x_2 = i\sqrt{3}$ и $x_3 = -i\sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = i\sqrt{3}, x_3 = -i\sqrt{3}$.