Номер 5.52, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.52. Запишите следующее выражение в виде двучлена:

$(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

В представленном выражении $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$, скорее всего, допущена опечатка. Условие требует записать выражение в виде двучлена, однако в заданном виде оно не упрощается до двучлена. Вероятно, последний множитель должен быть $(a^2 + ab + b^2)$. С этим исправлением задача имеет классическое решение.

Будем упрощать выражение в виде:

$(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)$

Для удобства сгруппируем множители, чтобы использовать формулы сокращенного умножения. Коммутативный закон умножения ($xyz = xzy$) позволяет нам менять порядок множителей.

$[(a + b)(a^2 - ab + b^2)] \cdot [(a - b)(a^2 + ab + b^2)]$

Первая группа множителей $[(a + b)(a^2 - ab + b^2)]$ соответствует формуле суммы кубов:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$

Применив ее, получаем:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$

Вторая группа множителей $[(a - b)(a^2 + ab + b^2)]$ соответствует формуле разности кубов:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

Применив ее, получаем:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$

Теперь исходное выражение можно переписать как произведение двух полученных двучленов:

$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)$

Это выражение является формулой разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = a^3$ и $y = b^3$.

Применяя эту формулу, находим окончательный вид выражения:

$(a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$

Ответ: $a^6 - b^6$.