Номер 5.49, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.49. Комплексные числа $\text{z}$ и $\text{w}$ являются решениями следующей системы:

$\begin{cases} z + iw = 13, \\ 3z - 4w = 2i. \end{cases}$

Найдите $\text{z}$ и $\text{w}$ и запишите их в виде $x + yi$.

Дана система уравнений с комплексными переменными $\text{z}$ и $\text{w}$:

$ \begin{cases} z + iw = 13, \\ 3z - 4w = 2i. \end{cases} $

Для решения этой системы можно использовать метод подстановки или метод сложения (исключения). Воспользуемся методом сложения.

Умножим обе части первого уравнения на $-3$, чтобы при сложении со вторым уравнением исключить переменную $\text{z}$:

$-3(z + iw) = -3 \cdot 13$

$-3z - 3iw = -39$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы $3z - 4w = 2i$:

$(-3z - 3iw) + (3z - 4w) = -39 + 2i$

Приводим подобные слагаемые:

$-3z + 3z - 3iw - 4w = -39 + 2i$

$-4w - 3iw = -39 + 2i$

Вынесем $\text{w}$ за скобки в левой части уравнения:

$w(-4 - 3i) = -39 + 2i$

Теперь выразим $\text{w}$, разделив правую часть на коэффициент при $\text{w}$:

$w = \frac{-39 + 2i}{-4 - 3i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $-4 - 3i$ число есть $-4 + 3i$.

$w = \frac{(-39 + 2i)(-4 + 3i)}{(-4 - 3i)(-4 + 3i)}$

Выполним умножение в числителе:

$(-39 + 2i)(-4 + 3i) = (-39)(-4) + (-39)(3i) + (2i)(-4) + (2i)(3i) = 156 - 117i - 8i + 6i^2$

Так как $i^2 = -1$, то $6i^2 = -6$.

$156 - 117i - 8i - 6 = (156 - 6) + (-117 - 8)i = 150 - 125i$

Выполним умножение в знаменателе, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(-4 - 3i)(-4 + 3i) = (-4)^2 - (3i)^2 = 16 - 9i^2 = 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25$

Теперь найдем $\text{w}$:

$w = \frac{150 - 125i}{25} = \frac{150}{25} - \frac{125i}{25} = 6 - 5i$

Мы нашли значение $\text{w}$. Теперь найдем $\text{z}$, подставив найденное значение $\text{w}$ в первое уравнение исходной системы $z + iw = 13$.

$z + i(6 - 5i) = 13$

Раскроем скобки:

$z + 6i - 5i^2 = 13$

Снова используем $i^2 = -1$:

$z + 6i - 5(-1) = 13$

$z + 6i + 5 = 13$

Выразим $\text{z}$:

$z = 13 - 5 - 6i$

$z = 8 - 6i$

Таким образом, решения системы: $z = 8 - 6i$ и $w = 6 - 5i$.

Ответ: $z = 8 - 6i$, $w = 6 - 5i$.