Номер 5.43, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.43. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа:

1) $ \frac{(1-2i)(2+i)}{3-2i}; $

2) $ \frac{4+3i}{3+4i} - \frac{5-4i}{4+5i}; $

3) $ \frac{1+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i} + 2i; $

4) $ \left(\frac{4}{\sqrt{3}+i}\right)^2. $

1)

Чтобы найти действительную и мнимую части комплексного числа $z = \frac{(1-2i)(2+i)}{3-2i}$, сначала упростим числитель.

Перемножим комплексные числа в числителе:

$(1-2i)(2+i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i - 2i \cdot 2 - 2i \cdot i = 2 + i - 4i - 2i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$2 - 3i - 2(-1) = 2 - 3i + 2 = 4 - 3i$

Теперь выражение имеет вид: $z = \frac{4-3i}{3-2i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $3+2i$:

$z = \frac{4-3i}{3-2i} \cdot \frac{3+2i}{3+2i} = \frac{(4-3i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}$

Вычисляем новый числитель:

$(4-3i)(3+2i) = 12 + 8i - 9i - 6i^2 = 12 - i - 6(-1) = 12 - i + 6 = 18 - i$

Вычисляем новый знаменатель (используя формулу $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$):

$(3-2i)(3+2i) = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$

Таким образом, комплексное число равно:

$z = \frac{18-i}{13} = \frac{18}{13} - \frac{1}{13}i$

Отсюда, действительная часть $\text{Re}(z) = \frac{18}{13}$, а мнимая часть $\text{Im}(z) = -\frac{1}{13}$.

Ответ: действительная часть равна $\frac{18}{13}$, мнимая часть равна $-\frac{1}{13}$.

2)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{4+3i}{3+4i} - \frac{5-4i}{4+5i}$.

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $\frac{4+3i}{3+4i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $3-4i$:

$\frac{4+3i}{3+4i} = \frac{(4+3i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{12 - 16i + 9i - 12i^2}{3^2+4^2} = \frac{12 - 7i + 12}{25} = \frac{24-7i}{25}$

Вторая дробь: $\frac{5-4i}{4+5i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4-5i$:

$\frac{5-4i}{4+5i} = \frac{(5-4i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)} = \frac{20 - 25i - 16i + 20i^2}{4^2+5^2} = \frac{20 - 41i - 20}{16+25} = \frac{-41i}{41} = -i$

Теперь выполним вычитание:

$z = \frac{24-7i}{25} - (-i) = \frac{24}{25} - \frac{7}{25}i + i = \frac{24}{25} + \left(1 - \frac{7}{25}\right)i = \frac{24}{25} + \frac{18}{25}i$

Действительная часть $\text{Re}(z) = \frac{24}{25}$, мнимая часть $\text{Im}(z) = \frac{18}{25}$.

Ответ: действительная часть равна $\frac{24}{25}$, мнимая часть равна $\frac{18}{25}$.

3)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{1+i}{2-i} + \frac{2-i}{3+i} + 2i$.

Преобразуем каждое слагаемое-дробь к алгебраическому виду $a+bi$.

Первое слагаемое: $\frac{1+i}{2-i}$.

$\frac{1+i}{2-i} = \frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2+i+2i+i^2}{2^2+(-1)^2} = \frac{2+3i-1}{5} = \frac{1+3i}{5}$

Второе слагаемое: $\frac{2-i}{3+i}$.

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6-2i-3i+i^2}{3^2+1^2} = \frac{6-5i-1}{10} = \frac{5-5i}{10} = \frac{1-i}{2}$

Теперь сложим все части:

$z = \frac{1+3i}{5} + \frac{1-i}{2} + 2i = \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) + 2i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$\text{Re}(z) = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2+5}{10} = \frac{7}{10}$

$\text{Im}(z) = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{6-5+20}{10} = \frac{21}{10}$

Итак, $z = \frac{7}{10} + \frac{21}{10}i$.

Ответ: действительная часть равна $\frac{7}{10}$, мнимая часть равна $\frac{21}{10}$.

4)

Рассмотрим комплексное число $z = \left(\frac{4}{\sqrt{3}+i}\right)^2$.

Сначала упростим выражение в скобках, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{3}-i$.

$\frac{4}{\sqrt{3}+i} = \frac{4(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{4\sqrt{3}-4i}{(\sqrt{3})^2+1^2} = \frac{4\sqrt{3}-4i}{3+1} = \frac{4(\sqrt{3}-i)}{4} = \sqrt{3}-i$

Теперь возведем полученное число в квадрат:

$z = (\sqrt{3}-i)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i + i^2 = 3 - 2\sqrt{3}i - 1 = 2 - 2\sqrt{3}i$

Действительная часть $\text{Re}(z) = 2$, мнимая часть $\text{Im}(z) = -2\sqrt{3}$.

Ответ: действительная часть равна $\text{2}$, мнимая часть равна $-2\sqrt{3}$.