Номер 5.39, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.39. Вычислите:

$i^4 + i^{14} + i^{24} + i^{34} + i^{44} + i^{54} + i^{64} + i^{74} + i^{84}$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами мнимой единицы $\text{i}$. Степени $\text{i}$ циклически повторяются с периодом 4:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

В общем виде, для любого целого показателя степени $\text{n}$, значение $i^n$ равно $i^r$, где $\text{r}$ — это остаток от деления $\text{n}$ на 4. То есть, $i^n = i^{n \pmod 4}$.

Найдем значения для каждого слагаемого в сумме $i^4 + i^{14} + i^{24} + i^{34} + i^{44} + i^{54} + i^{64} + i^{74} + i^{84}$. Для этого определим остаток от деления каждого показателя степени на 4.

$i^4$: остаток от деления 4 на 4 равен 0, поэтому $i^4 = i^0 = 1$.

$i^{14}$: остаток от деления 14 на 4 равен 2, поэтому $i^{14} = i^2 = -1$.

$i^{24}$: остаток от деления 24 на 4 равен 0, поэтому $i^{24} = i^0 = 1$.

$i^{34}$: остаток от деления 34 на 4 равен 2, поэтому $i^{34} = i^2 = -1$.

$i^{44}$: остаток от деления 44 на 4 равен 0, поэтому $i^{44} = i^0 = 1$.

$i^{54}$: остаток от деления 54 на 4 равен 2, поэтому $i^{54} = i^2 = -1$.

$i^{64}$: остаток от деления 64 на 4 равен 0, поэтому $i^{64} = i^0 = 1$.

$i^{74}$: остаток от деления 74 на 4 равен 2, поэтому $i^{74} = i^2 = -1$.

$i^{84}$: остаток от деления 84 на 4 равен 0, поэтому $i^{84} = i^0 = 1$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и найдем сумму:

$1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1$

Сумма состоит из пяти слагаемых, равных 1, и четырех слагаемых, равных -1. Сгруппировав их, получаем:

$(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + 1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: 1