Номер 5.34, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.34. Найдите $z^{-1}$:

1) $z = 7 - 12i$;

2) $z = 3 + 4i$;

3) $z = -3 + 7i$;

4) $z = i$.

Для нахождения обратного к комплексному числу $z = a + bi$, используется величина $z^{-1} = \frac{1}{z}$. Чтобы представить это число в стандартной алгебраической форме $x+yi$, мы умножаем числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{a+bi}$ на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z = a + bi$ есть $\bar{z} = a - bi$.

Таким образом, формула для обратного числа выглядит так:

$z^{-1} = \frac{1}{a+bi} = \frac{1 \cdot (a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2 - (bi)^2} = \frac{a-bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i$.

Эту формулу можно записать как $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$, где $|z|^2 = a^2+b^2$ - это квадрат модуля комплексного числа.

1) Для $z = 7 - 12i$ имеем $a = 7$ и $b = -12$.

Находим комплексно-сопряженное число: $\bar{z} = 7 - (-12i) = 7 + 12i$.

Находим квадрат модуля: $|z|^2 = 7^2 + (-12)^2 = 49 + 144 = 193$.

Теперь находим $z^{-1}$:

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{7 + 12i}{193} = \frac{7}{193} + \frac{12}{193}i$.

Ответ: $\frac{7}{193} + \frac{12}{193}i$.

2) Для $z = 3 + 4i$ имеем $a = 3$ и $b = 4$.

Находим комплексно-сопряженное число: $\bar{z} = 3 - 4i$.

Находим квадрат модуля: $|z|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Теперь находим $z^{-1}$:

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{3 - 4i}{25} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$.

Ответ: $\frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$.

3) Для $z = -3 + 7i$ имеем $a = -3$ и $b = 7$.

Находим комплексно-сопряженное число: $\bar{z} = -3 - 7i$.

Находим квадрат модуля: $|z|^2 = (-3)^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$.

Теперь находим $z^{-1}$:

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{-3 - 7i}{58} = -\frac{3}{58} - \frac{7}{58}i$.

Ответ: $-\frac{3}{58} - \frac{7}{58}i$.

4) Для $z = i$ можно представить его как $z = 0 + 1i$, где $a = 0$ и $b = 1$.

Находим комплексно-сопряженное число: $\bar{z} = 0 - 1i = -i$.

Находим квадрат модуля: $|z|^2 = 0^2 + 1^2 = 1$.

Теперь находим $z^{-1}$:

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{-i}{1} = -i$.

Альтернативный способ: $z^{-1} = \frac{1}{i}$. Домножим числитель и знаменатель на $\text{i}$: $z^{-1} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.

Ответ: $-i$.