Номер 5.30, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Вычислите:

1) $(3 - 2i) + (5 + 3i);$

2) $(1 + 2i) - (3 - i);$

3) $3(2 - i)(1 - i);$

4) $(1 + 3i)(-7 + 2i);$

5) $(2 - i)^2;$

6) $(1 + 2i)^3.$

1)

Для сложения комплексных чисел необходимо отдельно сложить их действительные и мнимые части. Для чисел $(a+bi)$ и $(c+di)$ их сумма равна $(a+c) + (b+d)i$.

$(3 - 2i) + (5 + 3i) = (3 + 5) + (-2 + 3)i = 8 + 1i = 8 + i$.

Ответ: $8 + i$.

2)

Для вычитания комплексных чисел необходимо отдельно вычесть их действительные и мнимые части. Для чисел $(a+bi)$ и $(c+di)$ их разность равна $(a-c) + (b-d)i$.

$(1 + 2i) - (3 - i) = (1 - 3) + (2 - (-1))i = -2 + (2 + 1)i = -2 + 3i$.

Ответ: $-2 + 3i$.

3)

Сначала перемножим два комплексных числа в скобках, а затем результат умножим на $\text{3}$. При умножении комплексных чисел используется правило $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$. Важно помнить, что мнимая единица $\text{i}$ в квадрате дает $-1$, то есть $i^2 = -1$.

$(2 - i)(1 - i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + (-i) \cdot 1 + (-i) \cdot (-i) = 2 - 2i - i + i^2 = 2 - 3i - 1 = 1 - 3i$.

Теперь умножим полученный результат на $\text{3}$:

$3(1 - 3i) = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 3i = 3 - 9i$.

Ответ: $3 - 9i$.

4)

Перемножим два комплексных числа, используя правило раскрытия скобок и свойство $i^2 = -1$.

$(1 + 3i)(-7 + 2i) = 1 \cdot (-7) + 1 \cdot 2i + 3i \cdot (-7) + 3i \cdot 2i = -7 + 2i - 21i + 6i^2$.

Сгруппируем действительные и мнимые части, подставив $i^2 = -1$:

$(-7 + 6(-1)) + (2i - 21i) = (-7 - 6) - 19i = -13 - 19i$.

Ответ: $-13 - 19i$.

5)

Для возведения комплексного числа в квадрат используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=2$ и $b=i$.

$(2 - i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 - 4i + i^2$.

Заменим $i^2$ на $-1$:

$4 - 4i - 1 = (4 - 1) - 4i = 3 - 4i$.

Ответ: $3 - 4i$.

6)

Для возведения комплексного числа в куб используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В данном случае $a=1$ и $b=2i$.

$(1 + 2i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 1 + 6i + 3(4i^2) + 8i^3$.

Упростим выражение, используя свойства мнимой единицы: $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$.

$1 + 6i + 12(-1) + 8(-i) = 1 + 6i - 12 - 8i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(1 - 12) + (6i - 8i) = -11 - 2i$.

Ответ: $-11 - 2i$.