Номер 5.25, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25. Запишите следующие числа в виде $x + yi$:

1) $\frac{2+3i}{1+i}$;

2) $\frac{-4+3i}{-2-i}$;

3) $\frac{5i}{6-2i}$;

4) $\frac{7+5i}{6-2i}$.

1)

Чтобы записать комплексное число $\frac{2+3i}{1+i}$ в виде $x+yi$, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Комплексно-сопряженным к числу $z = a+bi$ является число $\bar{z} = a-bi$.

Знаменатель дроби равен $1+i$. Сопряженное к нему число будет $1-i$.

$\frac{2+3i}{1+i} = \frac{(2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Напомним, что $i^2 = -1$.

Числитель: $(2+3i)(1-i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 2 + i + 3 = 5+i$.

Знаменатель: $(1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1+1 = 2$.

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{5+i}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i$

Ответ: $\frac{5}{2} + \frac{1}{2}i$

2)

Для числа $\frac{-4+3i}{-2-i}$ знаменатель равен $-2-i$. Комплексно-сопряженное к нему число будет $-2+i$.

Умножим числитель и знаменатель на $-2+i$:

$\frac{-4+3i}{-2-i} = \frac{(-4+3i)(-2+i)}{(-2-i)(-2+i)}$

Числитель: $(-4+3i)(-2+i) = (-4)(-2) + (-4)i + 3i(-2) + 3i \cdot i = 8 - 4i - 6i + 3i^2 = 8 - 10i + 3(-1) = 8 - 10i - 3 = 5-10i$.

Знаменатель: $(-2-i)(-2+i) = (-2)^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4+1 = 5$.

Подставим полученные значения:

$\frac{5-10i}{5} = \frac{5}{5} - \frac{10i}{5} = 1 - 2i$

Ответ: $1 - 2i$

3)

Для числа $\frac{5i}{6-2i}$ знаменатель равен $6-2i$. Комплексно-сопряженное к нему число будет $6+2i$.

Умножим числитель и знаменатель на $6+2i$:

$\frac{5i}{6-2i} = \frac{5i(6+2i)}{(6-2i)(6+2i)}$

Числитель: $5i(6+2i) = 5i \cdot 6 + 5i \cdot 2i = 30i + 10i^2 = 30i + 10(-1) = -10+30i$.

Знаменатель: $(6-2i)(6+2i) = 6^2 - (2i)^2 = 36 - 4i^2 = 36 - 4(-1) = 36+4 = 40$.

Подставим полученные значения и сократим дробь:

$\frac{-10+30i}{40} = \frac{-10}{40} + \frac{30i}{40} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4}i$

Ответ: $-\frac{1}{4} + \frac{3}{4}i$

4)

Для числа $\frac{7+5i}{6-2i}$ знаменатель равен $6-2i$. Комплексно-сопряженное к нему число будет $6+2i$.

Умножим числитель и знаменатель на $6+2i$:

$\frac{7+5i}{6-2i} = \frac{(7+5i)(6+2i)}{(6-2i)(6+2i)}$

Числитель: $(7+5i)(6+2i) = 7 \cdot 6 + 7 \cdot 2i + 5i \cdot 6 + 5i \cdot 2i = 42 + 14i + 30i + 10i^2 = 42 + 44i + 10(-1) = 42 + 44i - 10 = 32+44i$.

Знаменатель, как и в предыдущем примере, равен 40.

Подставим полученные значения и сократим дробь:

$\frac{32+44i}{40} = \frac{32}{40} + \frac{44i}{40} = \frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 10}i = \frac{4}{5} + \frac{11}{10}i$

Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{11}{10}i$