Номер 5.31, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Решите уравнение $(x, y \in R)$:

1) $(1+i)x + (2+i)y = 5 + 3i$;

2) $2x + (1+i)(x+y) = 7 + i$;

3) $(3 - y + x)(1+i) + (x-y)(2+i) = 6 - 3i$.

1)

Дано уравнение: $(1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i$, где $x, y \in R$.

Раскроем скобки в левой части уравнения: $x + ix + 2y + iy = 5 + 3i$.

Сгруппируем действительные (без $\text{i}$) и мнимые (с $\text{i}$) части: $(x + 2y) + (x + y)i = 5 + 3i$.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Действительная часть: $x + 2y = 5$

Мнимая часть: $x + y = 3$

Решим эту систему. Из второго уравнения можно выразить $\text{x}$: $x = 3 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(3 - y) + 2y = 5$.

Упрощаем и находим $\text{y}$: $3 + y = 5$, откуда $y = 2$.

Теперь, зная $\text{y}$, находим $\text{x}$: $x = 3 - y = 3 - 2 = 1$.

Ответ: $x = 1, y = 2$.

2)

Дано уравнение: $2x + (1 + i)(x + y) = 7 + i$, где $x, y \in R$.

Раскроем скобки: $2x + (x + y) + i(x + y) = 7 + i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части: $(2x + x + y) + i(x + y) = (3x + y) + i(x + y)$.

Теперь уравнение имеет вид: $(3x + y) + (x + y)i = 7 + 1i$.

Приравниваем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $3x + y = 7$

Мнимая часть: $x + y = 1$

Решим полученную систему. Из второго уравнения выразим $\text{y}$: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $3x + (1 - x) = 7$.

Решаем уравнение относительно $\text{x}$: $2x + 1 = 7$, что дает $2x = 6$ и $x = 3$.

Находим $\text{y}$: $y = 1 - x = 1 - 3 = -2$.

Ответ: $x = 3, y = -2$.

3)

Дано уравнение: $(3 - y + x)(1 + i) + (x - y)(2 + i) = 6 - 3i$, где $x, y \in R$.

Раскроем скобки и преобразуем левую часть уравнения:

$(3 + x - y)(1 + i) + (x - y)(2 + i) = (3+x-y) + (3+x-y)i + 2(x-y) + (x-y)i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $(3+x-y) + 2(x-y) = 3+x-y+2x-2y = 3x - 3y + 3$.

Мнимая часть: $(3+x-y) + (x-y) = 3+x-y+x-y = 2x - 2y + 3$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $(3x - 3y + 3) + (2x - 2y + 3)i = 6 - 3i$.

Приравниваем действительные и мнимые части:

Действительная часть: $3x - 3y + 3 = 6$

Мнимая часть: $2x - 2y + 3 = -3$

Упростим оба уравнения.

Из первого уравнения: $3(x - y) = 3$, что приводит к $x - y = 1$.

Из второго уравнения: $2(x - y) = -6$, что приводит к $x - y = -3$.

Мы получили противоречивую систему, так как выражение $x - y$ не может одновременно быть равным $\text{1}$ и $-3$. Это означает, что система несовместна.

Ответ: решений нет.