Номер 5.27, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.27. Дано число $z = 1 - i$. Вычислите:

1) $z^3$;

2) $\frac{1}{z^3}$;

3) $z^3 \bar{z}$.

1) Чтобы вычислить $z^3$, сначала найдем $z^2$:

$z^2 = (1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь умножим результат на $\text{z}$:

$z^3 = z^2 \cdot z = (-2i)(1 - i) = -2i \cdot 1 - (-2i) \cdot i = -2i + 2i^2$.

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$z^3 = -2i + 2(-1) = -2 - 2i$.

Ответ: $-2 - 2i$.

2) Для вычисления $\frac{1}{z^3}$ воспользуемся результатом из пункта 1), где $z^3 = -2 - 2i$.

$\frac{1}{z^3} = \frac{1}{-2 - 2i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число к знаменателю. Сопряженное к $-2 - 2i$ есть $-2 + 2i$.

$\frac{1}{-2 - 2i} = \frac{1 \cdot (-2 + 2i)}{(-2 - 2i)(-2 + 2i)} = \frac{-2 + 2i}{(-2)^2 - (2i)^2} = \frac{-2 + 2i}{4 - 4i^2}$.

Поскольку $i^2 = -1$, знаменатель равен $4 - 4(-1) = 4 + 4 = 8$.

$\frac{1}{z^3} = \frac{-2 + 2i}{8} = \frac{-2}{8} + \frac{2i}{8} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}i$.

Ответ: $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}i$.

3) Нам нужно вычислить $z^3 \bar{z}$. Выражение можно представить как $z^2 \cdot (z \bar{z})$.

Комплексно-сопряженное число к $z = 1 - i$ есть $\bar{z} = 1 + i$.

Найдем произведение $z \bar{z}$:

$z \bar{z} = (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.

(Это также квадрат модуля числа $\text{z}$: $|z|^2 = (\sqrt{1^2+(-1)^2})^2 = 2$).

Из пункта 1) мы знаем, что $z^2 = -2i$.

Теперь можем найти искомое значение:

$z^3 \bar{z} = z^2 \cdot (z \bar{z}) = (-2i) \cdot 2 = -4i$.

Ответ: $-4i$.