Номер 5.23, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23. Найдите действительную и мнимую части данного комплексного числа, умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

1) $\frac{1}{5+12i}$;

2) $\frac{1}{6+8i}$;

3) $\frac{1}{3+i}$;

4) $\frac{1}{6-i}$.

1)

Чтобы найти действительную и мнимую части комплексного числа $z = \frac{1}{5+12i}$, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Сопряженным к знаменателю $5+12i$ является число $5-12i$. Выполним умножение: $z = \frac{1}{5+12i} = \frac{1 \cdot (5-12i)}{(5+12i)(5-12i)} = \frac{5-12i}{5^2 + 12^2} = \frac{5-12i}{25+144} = \frac{5-12i}{169}$.

Теперь представим результат в алгебраической форме $a+bi$: $z = \frac{5}{169} - \frac{12}{169}i$. Отсюда, действительная часть (Re) равна $\frac{5}{169}$, а мнимая часть (Im) равна $-\frac{12}{169}$.

Ответ: действительная часть: $\frac{5}{169}$, мнимая часть: $-\frac{12}{169}$.

2)

Для числа $z = \frac{1}{6+8i}$ сопряженным к знаменателю $6+8i$ является число $6-8i$. Умножим числитель и знаменатель на это число: $z = \frac{1}{6+8i} = \frac{1 \cdot (6-8i)}{(6+8i)(6-8i)} = \frac{6-8i}{6^2 + 8^2} = \frac{6-8i}{36+64} = \frac{6-8i}{100}$.

Представим результат в алгебраической форме и сократим дроби: $z = \frac{6}{100} - \frac{8}{100}i = \frac{3}{50} - \frac{2}{25}i$. Действительная часть (Re) равна $\frac{3}{50}$, а мнимая часть (Im) равна $-\frac{2}{25}$.

Ответ: действительная часть: $\frac{3}{50}$, мнимая часть: $-\frac{2}{25}$.

3)

Для числа $z = \frac{1}{3+i}$ сопряженным к знаменателю $3+i$ является число $3-i$. Умножим числитель и знаменатель на это число: $z = \frac{1}{3+i} = \frac{1 \cdot (3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{3-i}{3^2 + 1^2} = \frac{3-i}{9+1} = \frac{3-i}{10}$.

Представим результат в алгебраической форме: $z = \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$. Действительная часть (Re) равна $\frac{3}{10}$, а мнимая часть (Im) равна $-\frac{1}{10}$.

Ответ: действительная часть: $\frac{3}{10}$, мнимая часть: $-\frac{1}{10}$.

4)

Для числа $z = \frac{1}{6-i}$ сопряженным к знаменателю $6-i$ является число $6+i$. Умножим числитель и знаменатель на это число: $z = \frac{1}{6-i} = \frac{1 \cdot (6+i)}{(6-i)(6+i)} = \frac{6+i}{6^2 + (-1)^2} = \frac{6+i}{36+1} = \frac{6+i}{37}$.

Представим результат в алгебраической форме: $z = \frac{6}{37} + \frac{1}{37}i$. Действительная часть (Re) равна $\frac{6}{37}$, а мнимая часть (Im) равна $\frac{1}{37}$.

Ответ: действительная часть: $\frac{6}{37}$, мнимая часть: $\frac{1}{37}$.