Вопросы, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие арифметические действия можно производить над комплексными числами?

2. Как произвести операцию деления комплексных чисел.

3. Сформулируйте закономерность для вычисления $i^n$. Докажите.

1. Над комплексными числами можно производить все стандартные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Также для комплексных чисел определены операции возведения в степень (целую, рациональную, вещественную и комплексную) и извлечения корня.

Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$.

• Сложение: $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$. Действительные и мнимые части складываются отдельно.
• Вычитание: $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$. Действительные и мнимые части вычитаются отдельно.
• Умножение: $z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Умножение производится как умножение двучленов с учётом того, что $i^2 = -1$.
• Деление: Описано в пункте 2.

Ответ: Над комплексными числами можно производить сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

2. Чтобы произвести операцию деления одного комплексного числа $z_1 = a + bi$ на другое $z_2 = c + di$ (при условии, что $z_2 \neq 0$), необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. Комплексно сопряжённое к $z_2 = c + di$ число есть $\bar{z_2} = c - di$.

Этот приём позволяет избавиться от мнимой единицы в знаменателе, так как произведение числа на его сопряжённое всегда является действительным числом: $z_2 \cdot \bar{z_2} = (c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2$.

Таким образом, операция деления выглядит следующим образом:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac - adi + bci - bdi^2}{c^2+d^2} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$

Ответ: Для деления комплексных чисел нужно домножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, а затем выполнить преобразования.

3. Значения степеней мнимой единицы $\text{i}$ циклически повторяются с периодом 4. Закономерность для вычисления $i^n$ для любого целого неотрицательного числа $\text{n}$ можно сформулировать следующим образом: значение $i^n$ равно $i^r$, где $\text{r}$ — это остаток от деления $\text{n}$ на 4. То есть, $i^n = i^{n \pmod 4}$.

Возможные значения:

• Если остаток $r=0$ (т.е. $\text{n}$ делится на 4), то $i^n = i^0 = 1$.
• Если остаток $r=1$, то $i^n = i^1 = i$.
• Если остаток $r=2$, то $i^n = i^2 = -1$.
• Если остаток $r=3$, то $i^n = i^3 = -i$.

Доказательство:

По определению $i^2 = -1$.

Рассмотрим первые несколько степеней $\text{i}$:

$i^0 = 1$

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

Мы видим, что $i^4 = 1$. Это ключ к доказательству закономерности.

Любое целое неотрицательное число $\text{n}$ можно представить в виде $n = 4k + r$, где $\text{k}$ — это целое частное от деления $\text{n}$ на 4 ($k \ge 0$), а $\text{r}$ — остаток от деления, который может принимать значения $0, 1, 2$ или $\text{3}$.

Тогда степень $i^n$ можно записать как:

$i^n = i^{4k+r} = i^{4k} \cdot i^r = (i^4)^k \cdot i^r$

Поскольку мы уже показали, что $i^4=1$, то $(i^4)^k = 1^k = 1$ для любого $k \ge 0$.

Следовательно, $i^n = 1 \cdot i^r = i^r$.

Это доказывает, что значение $i^n$ полностью определяется остатком от деления $\text{n}$ на 4. Что и требовалось доказать.

Ответ: Закономерность заключается в том, что степени мнимой единицы $\text{i}$ циклически повторяются с периодом 4: $i, -1, -i, 1$. Значение $i^n$ зависит от остатка от деления $\text{n}$ на 4, то есть $i^n = i^{n \pmod 4}$.