Номер 5.16, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Изобразите множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:

1) $|z| = 1;$

2) $|z| \le 5;$

3) $1 \le |z| \le 2;$

4) $\arg z = 0;$

5) $\frac{\pi}{6} \le \arg z \le \frac{\pi}{4};$

6) $|z-1| = \frac{1}{3};$

7) $|z - 3 + 2i| \le 2.$

1) Условие $|z| = 1$ задает множество точек $\text{z}$ на комплексной плоскости, расстояние которых от начала координат равно 1. Пусть комплексное число $\text{z}$ представлено в виде $z = x + iy$, где $\text{x}$ - действительная часть, а $\text{y}$ - мнимая. Модуль комплексного числа $|z|$ вычисляется как $\sqrt{x^2 + y^2}$. Тогда уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = 1^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

2) Условие $|z| \le 5$ задает множество точек $\text{z}$, расстояние которых от начала координат не превышает 5. Используя представление $z = x + iy$, получаем неравенство $\sqrt{x^2 + y^2} \le 5$, или $x^2 + y^2 \le 5^2$. Это неравенство описывает все точки, находящиеся внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 5$. Такое множество является замкнутым кругом.

Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 5.

3) Двойное неравенство $1 \le |z| \le 2$ означает, что расстояние от точки $\text{z}$ до начала координат должно быть не меньше 1 и не больше 2. Это множество точек, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $|z| \ge 1$ (все точки вне и на окружности радиуса 1) и $|z| \le 2$ (все точки внутри и на окружности радиуса 2). В результате получаем кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами $R_1 = 1$ и $R_2 = 2$. Границы кольца (сами окружности) включаются в множество.

Ответ: Кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 1 и 2, включая сами окружности.

4) Условие $\arg z = 0$ означает, что аргумент комплексного числа $\text{z}$ равен 0. Аргумент — это угол, который образует вектор, проведенный из начала координат в точку $\text{z}$, с положительным направлением действительной оси. Угол, равный нулю, соответствует точкам, лежащим на положительной части действительной оси. При этом следует учесть, что для числа $z=0$ аргумент не определен, поэтому начало координат не входит в это множество.

Ответ: Луч, выходящий из начала координат (не включая начало координат) и совпадающий с положительной частью действительной оси.

5) Неравенство $\frac{\pi}{6} \le \arg z \le \frac{\pi}{4}$ задает множество точек, аргумент которых находится в промежутке от $\frac{\pi}{6}$ (30o ) до $\frac{\pi}{4}$ (45o ), включая границы. Геометрически это угловой сектор, ограниченный двумя лучами, выходящими из начала координат под углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$ к положительной действительной оси. Начало координат не входит в множество, так как $\arg 0$ не определен.

Ответ: Угловой сектор, ограниченный лучами, выходящими из начала координат под углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$ к положительной действительной оси, включая сами лучи (но не включая начало координат).

6) Условие $|z - 1| = \frac{1}{3}$ можно интерпретировать геометрически. Выражение $|z_1 - z_2|$ представляет собой расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости. В данном случае уравнение задает множество точек $\text{z}$, расстояние от которых до точки $z_0 = 1$ (или $(1, 0)$ на плоскости) постоянно и равно $\frac{1}{3}$. Это определение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R = \frac{1}{3}$.

Ответ: Окружность с центром в точке (1, 0) и радиусом $\frac{1}{3}$.

7) Условие $|z - 3 + 2i| \le 2$ можно переписать в виде $|z - (3 - 2i)| \le 2$. Это неравенство задает множество точек $\text{z}$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3 - 2i$ (то есть до точки с координатами $(3, -2)$) не превышает 2. Такое множество представляет собой замкнутый круг с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $R = 2$.

Ответ: Замкнутый круг с центром в точке (3, -2) и радиусом 2.